タウバーの定理

解析学において、タウバーの定理（タウバーのていり、英: Tauber's Theorem）は無限級数の収束に関する定理^[1]。ある一定の条件の下、無限級数におけるアーベルの定理の逆が成り立つことを述べる。オーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが1897年に示した^[2]。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ^[3]。

導入

∑
a_nは∑∞
n=0 a_n=lを満たす実数の級数とする。このとき、アーベルの定理によれば、f(x)= ∑∞
n=0 a_nxⁿを収束半径1のベキ級数とすると、f(x)はx → 1 −でf(x) →lを満たす。また、クロネッカーによる定理^[4]によれば、n → ∞で 1/n∑∞
k=0 ka_k→0が成り立つ。 一方でアーベルの定理の逆は必ずしも成り立たない。すなわち、f(x)= ∑∞
n=0 a_nxⁿを収束半径1のベキ級数としたときに、f(x)がx → 1 −でf(x) →lという条件を満たす、言い換えればアーベル総和可能であっても、∑∞
n=0 a_nはlに収束するとは限らない。例えば、 a_n=(−1)ⁿとすると、f(x)= ∑∞
n=0 a_nxⁿ=1/1+xはlimx → 1 − f(x)=1/2であるが、∑∞
n=0(-1)ⁿは収束しない。また、クロネッカーによる定理の逆についても同様であり、n → ∞で1/n∑∞
k=0 ka_k→0という条件が満たされても、∑∞
n=0 a_nは収束するとは限らない。しかしながら、タウバーの定理はアーベルの定理とクロネッカーによる定理の結果が同時に満たされているならば、逆に∑∞
n=0 a_n=lが成り立つことを保証する。

定理の内容

級数∑
a_nはアーベル総和可能、すなわち、収束半径1のベキ級数f(x)= ∑∞
n=0 a_nxⁿがx → 1 −でf(x) →lを満たすとする。このとき、条件

(T₀) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n}k{a_{k}}\to 0}$

が満たされるならば、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}=l}$

が成り立つ。この定理をタウバーの定理という。条件(T₀)は、

(T'₀) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }na_{n}=0}$

に置き換えてもよい。

タウバー型定理

→詳細は「タウバー型定理」を参照

タウバーの定理における条件(T₀)または(T'₀)はアーベル総和可能でアーベル総和の値がlとなる級数が通常の意味でlに収束する条件を与えている。より一般的に、総和法において、値lに総和可能な級数が(T₀)や(T'₀)のようにlに収束する条件をタウバー型条件と呼び、タウバー型条件を与える定理をタウバー型定理と呼ぶ。

タウバーの定理における条件(T'₀)はランダウの記号を用いると、

(T'₀) ${\displaystyle a_{n}=o{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}}$

と表すことができる。1911年にJ. E. リトルウッドはこれをさらに弱い条件

(T₁) ${\displaystyle a_{n}=O{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}}$

と置き換えることができることを示した^[5]。

さらにG. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはこの条件を弱め、定数Cが存在し

(T₂) ${\displaystyle na_{n}\geq -C\quad (n=1,2,\cdots )}$

とすることができることを示した。