ディリクレの判定法

数学において、ディリクレの判定法（ディリクレのはんていほう、英: Dirichlet's test）は、級数の収束判定法の一つである。名称はこれを記述したペーター・グスタフ・ディリクレにちなんでいるが、発表されたのは彼の死後、1862年の "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées" においてであった^[1]。

主張

実数列 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ と複素数列 ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ が次の条件

• ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ある定数 ${\displaystyle M}$ があり、全ての正の整数 N に対して ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$

を満たすならば、級数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ は収束する。

証明

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$、${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$ とおく。

部分和分法により ${\displaystyle S_{n}=a_{n+1}B_{n}+\sum _{k=1}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ と変形できる。

${\displaystyle B_{n}}$ は絶対値が M で抑えられていて ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$ なので、第1項は0に収束する：

${\displaystyle a_{n+1}B_{n}\to 0}$ (${\displaystyle n\to \infty }$)

一方 ${\displaystyle a_{n}}$ は非増加数列なので ${\displaystyle a_{k}-a_{k+1}}$ は任意の k に対し非負であり、${\displaystyle |B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M(a_{k}-a_{k+1})}$ となるが、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{1}-a_{n+1})}$

であるから、${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$ は ${\displaystyle n\to \infty }$ のとき ${\displaystyle Ma_{1}}$ に収束する。

よって比較判定法により ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|}$ もまた収束する。級数 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ は絶対収束するから自身もまた収束する。

以上より ${\displaystyle S_{n}}$ が収束することが言えた。

応用

• ディリクレの判定法で

${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1}$

とした特別な場合が交代級数判定法（英語版）である。

• ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ が減少して0に収束する実数列であれば、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$ は常に収束する。

• アーベルの判定法（英語版）はディリクレの判定法の特別な場合だと見なせる。

広義積分

広義積分の収束に対しても類似した命題が成り立つ。実軸の非有界区間で定義された関数 f と g があって、f は任意の積分範囲での積分値の絶対値がある定数で一様に（積分範囲に依らず）上から抑えられていて、g は非負値かつ単調非増加のとき、fg の広義積分は収束する。