デデキントのイータ関数

デデキントのイータ関数 (デデキントのイータかんすう、英: Dedekind Eta function) は次のような式で定義される関数である^[1]。

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\qquad (\Im \tau >0)}$

ヤコビの三重積の公式により、

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\pi {i}\tau /12}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(e^{2\pi {i}\tau }\right)^{n(3n-1)/2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(e^{2\pi {i}\tau }\right)^{(6n-1)^{2}/24}\qquad (\Im \tau >0)}$

となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

極と零点

${\displaystyle \Im \tau >0}$であれば${\displaystyle \left|e^{2\pi {i}\tau }\right|<1}$であるから、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\log \eta (\tau )\right|&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{m=1}^{\infty }\left|\log(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\right|\\&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left|e^{2\pi {i}\tau {mn}}\right|}{n}}\\&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left|e^{2\pi {i}\tau {n}}\right|}{n(1-\left|e^{2\pi {i}\tau {n}}\right|)}}\\&\leq {\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+{\frac {1}{1-|e^{2\pi {i}\tau }|}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|e^{2\pi {i}\tau {n}}|}{n}}\\&\leq {\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}-{\frac {\log(1-|e^{2\pi {i}\tau }|)}{1-|e^{2\pi {i}\tau }|}}\\\end{aligned}}}$

である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、${\displaystyle \tau =q/r}$が有理数であれば${\displaystyle 1-e^{2\pi {i}\tau {r}}=0}$であるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

テータ関数との関係

イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{3}\left(\tau \right)&=e^{\pi {i}\tau /4}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{3}\\&=e^{\pi {i}\tau /4}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{3}\left(1+e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{2}\left(1-e^{2\pi {i}\tau {(2m-1)}}\right)^{2}\\&=e^{\pi {i}\tau /4}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{3}\left(1+e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{2}\left(1+e^{(2m-1)\pi {i}\tau }\right)^{2}\left(1-e^{(2m-1)\pi {i}\tau }\right)^{2}\\&={\frac {1}{2}}\vartheta _{2}\left(0,\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,\tau \right)\vartheta _{4}\left(0,\tau \right)\\\end{aligned}}}$

である。また、

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (\tau )&=e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\\&=e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}/3})(1+e^{2\pi {i}\tau {m}/3}+e^{4\pi {i}\tau {m}/3})\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}e^{\pi {i\tau }/12}\cos {\frac {\pi }{6}}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}/3})\left(1+2\cos {\frac {\pi }{3}}e^{2\pi {i}\tau {m}/3}+e^{4\pi {}i\tau {m}/3}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\vartheta _{2}\left({\frac {1}{6}},{\frac {\tau }{3}}\right)\\\end{aligned}}}$

である。

モジュラー変換

テータ関数の虚数変換式により

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{3}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\frac {1}{2}}\vartheta _{2}\left(0,-{\frac {1}{\tau }}\right)\vartheta _{3}\left(0,-{\frac {1}{\tau }}\right)\vartheta _{4}\left(0,-{\frac {1}{\tau }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-i\tau }}\vartheta _{4}(0,\tau ){\sqrt {-i\tau }}\vartheta _{3}(0,\tau ){\sqrt {-i\tau }}\vartheta _{2}(0,\tau )\\&={\sqrt {i\tau ^{3}}}\eta ^{3}(\tau )\\\end{aligned}}}$

であるが、${\displaystyle \tau }$が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {-i\tau }}\eta (\tau )\\\end{aligned}}}$

である。また、

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta \left(\tau +1\right)&=e^{\pi {i}(\tau +1)/12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}(\tau +1)m})\\&=e^{\pi {i}/12}e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\\&=e^{\pi {i}/12}\eta \left(\tau \right)\\\end{aligned}}}$

であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\eta ^{24}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)=\tau ^{12}\eta ^{24}(\tau )\\&\eta ^{24}\left(\tau +1\right)=\eta ^{24}\left(\tau \right)\end{aligned}}}$

実際、モジュラー判別式${\displaystyle \Delta }$の定数倍と一致する^[2]。

${\displaystyle (2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )=\Delta (\tau ).}$

関数等式

イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c ≠ 0 のとき、ある1の24乗根 ${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)}$ について関数等式

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(c\tau +d)^{1/2}\eta (\tau )}$

が成り立つ。${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)}$は

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp \pi i\left({\frac {a+d}{12c}}-s(-d,c)-{\frac {1}{4}}\right)}$

により求められる^[3]。ここで${\displaystyle s(h,k)}$はデデキント和（英語版）

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{r=1}^{k-1}{\frac {r}{k}}\left({\frac {hr}{k}}-\left\lfloor {\frac {hr}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)}$

をあらわす。