デュラン＝カーナー法

デュラン＝カーナー法（デュラン＝カーナーほう、Durand-Kerner method、 DK法、ブルガリアではWeierstrass-Dochev法と呼ばれる）はカール・ワイエルシュトラスが1891年に発見し^[1]、Durand(1960)^[2]、Dochev(1962)、Presic(1966)、Kerner(1966)^[3]がそれぞれ独立に再発見した多項式に対する求根アルゴリズム、反復法であり、ニュートン法の進化形といえる^[4][5]。Dk法の命名はAberth(1973)による。DK法に対してAberth(1973)^[6]の提案した初期値を用いる手法はDKA法（Durand-Kerner-Aberth method）と称される。DKA法は山本哲朗による命名である^[7]。

DKA法の誤差評価

DKA法の誤差評価はSmith(1970)で与えられた^[8][9]。Smithの定理では与えられた多項式のすべての根がある閉円板の合併に含まれ、その連結成分の1つがm個の閉円板からなればその中にちょうどm個の根があると示された。この定理の証明は『数値解析入門』(山本 2003)の付録に詳述されている。

DK法の続行が不可能となるような初期値の存在

Kjurkchiev-Andreev(1985)はある段階でDK法の続行が不可能となるような初期値が必ず存在することを証明した^[10]。しかし多くの数値実験によってDK法はほとんどすべての初期値に対して反復列は解に収束すると予想されている。この予想は2次多項式の時は正しい(Small, 1976)。3次多項式の場合は特別な場合で示されている（山岸義和、1991年）。しかし一般の場合は未解決である。

• Bernhard Reinke, Dierk Schleicher and Michael Stoll: "The Weierstrass-Durand-Kerner root finder is not generally convergent", Math. Comp. vol.92 (2023), pp.839-866. DOI: https://doi.org/10.1090/mcom/3783