トムセンの定理

トムセンの定理（トムセンのていり、英: Thomsen's theorem）は、ゲルハルト・トムセンに因んで命名された初等幾何学の定理である。三角形の辺に平行な線から成る特定の折線（英語版）が閉曲線となることを主張する^[1]。

トムセンの定理${\displaystyle P_{7}=P_{1}}$

△ABCの辺（またはその延長）BC上に点P₁をとる。P₁を通りCAと平行な直線とABの交点をP₂、P₂を通りBCと平行な直線とCAの交点をP₃、P₃を通りABと平行な直線とBCの交点をP₄、P₄を通りCAと平行な直線とABの交点をP₅、P₅を通りBCと平行な直線とCAの交点をP₆とする。P₆を通りABと平行な直線とBCの交点はP₁である。つまり折れ線P₁P₂P₃P₄P₅P₆P₁は閉じる。また、いずれかの点が辺の中点である場合、その連鎖の長さは3になる。

またP₁,P₂,P₃,P₄,P₅,P₆は同一楕円上にある。

${\displaystyle k={\frac {BP_{1}}{BC}}={\biggl (}{\frac {CP_{2}}{CA}}={\frac {AP_{3}}{AB}}{\biggr )}}$

としてその面積は

${\displaystyle {\frac {4\pi }{3k^{2}-3k+1}}S}$

である。ただしSは三角形の面積。楕円の中心は三角形の重心。k=1/2のときシュタイナーの内接楕円、k=0,1のときシュタイナーの外接楕円である^[2]。

パップスの六角形定理の双対と同値な命題である^[3]。