トリリウムの定理

トリリウムの定理^[1] (トリリウムのていり、露: теорема трилистника、英: Trillium theorem）あるいは内心傍心補題（Incenter/excenter lemma）とは幾何学の定理の一つである。

定理

△ABCにおける内心をI、点Aに対する傍心をJとする。半直線AI（これはJを通過する）と△ABCの外接円との交点をPとする。

このとき、点I,B,J,Cは点Pを中心とする同一円周上にある。

証明

半直線ABと傍接円との接点をHとする。

まず ∠BAP = ∠CAP より PB = PC である。

次に

∠IBP = ∠IBC + ∠CBP = ∠IBC + ∠CAP = ∠IBA + ∠IAB = ∠BIP

つまり ∠IBP = ∠BIP。

よって△PBIは二等辺三角形であり PB = PI である。

以上から PB = PI = PC である。

また

∠JBI = ∠IBC + ∠JBC = 1/2∠ABC + 1/2∠CBH = 1/2 (∠ABC + ∠BCA + ∠CAB) = 90°

つまり ∠JBI = 90°

いま直角三角形JBIにおいて斜辺IJ上に点Pがあることと PB = PI が分かっている。このとき

∠PJB = 90° - ∠BIP = 90° - ∠IBP = ∠PBJ

より△PBJは二等辺三角形であり PB = PJ である。

以上から PB = PI = PC = PJ である。

これが示されるべきことであった(Q.E.D.)。

一般化

I,Jを内心、傍心の延べ4点のうちの任意の2点とする。直線IJは三角形の頂点のいずれかを通るかつ、IJを直径とする円は他の2頂点を通る^[2]。