トレミーの定理

トレミーの定理（トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem）とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式：

${\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる^[1]。

トレミーの定理を一般化したオイラーの定理（オイラーのていり）とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式（英: Ptolemy's inequality）：

${\displaystyle AC\cdot BD\leqq AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

が成り立つという幾何学の定理のことである^[2]。逆に、必ずしも同一平面上にない4点 A, B, C, D に関して、辺の長さに関する等式：

${\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

が成り立つならば、4点 A, B, C, D は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 ABCD は同一の円に内接する^[3]。

証明

計算の便宜をはかり、a = AD, b = AB, c = BC, d = DC とおくことにする。また、A = ∠A = ∠DAB, B = ∠B = ∠ABC, C = ∠C = ∠BCD, D = ∠D = ∠CDA のこととする。

余弦定理および内接四角形の性質より、

${\displaystyle BD^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos A}$、

${\displaystyle BD^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C=c^{2}+d^{2}+2cd\cos A}$

が成り立つ。ここから cos A を消去して、

${\displaystyle (ab+cd)BD^{2}=(ad+bc)(ac+bd)}$

を得る。また AC について同様にして

${\displaystyle (ad+bc)AC^{2}=(ab+cd)(ac+bd)}$

となるから、2 式を掛けて

${\displaystyle (ab+cd)(bc+ad)AC^{2}\cdot BD^{2}=(ac+bd)^{2}(ad+bc)(ab+cd)}$

を得る。これを整理すれば、

${\displaystyle AC\cdot BD=ac+bd}$

となる。すなわち、

${\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

が示された。

円に関する反転を用いた証明

円に関する反転を用いた証明

Dを中心とする適当な円 ${\displaystyle \Gamma }$ に関する反転 によってABCDの外接円が直線に移されるようにする。 このとき ${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'}$ が成り立つ。 このとき、一般性を失わずに ${\displaystyle \Gamma }$ の半径を1と置くことができる。 このとき ${\displaystyle A'B',B'C',A'C'}$はそれぞれ以下のように表される。

${\displaystyle {\frac {AB}{DA\cdot DB}},{\frac {BC}{DB\cdot DC}},{\frac {AC}{DA\cdot DC}}}$

この式の両辺に ${\displaystyle DA\cdot DB\cdot DC}$ をかけて最初の式に代入するとトレミーの定理が得られる。

一般化

一般化にケイシーの定理がある。

歴史

現代にのこる初出は、プトレマイオス『アルマゲスト』であるが、証明が初等的であるため、それ以前に発見されている可能性がある。『アルマゲスト』では、ある種の三角関数の加法定理の証明のための準備として証明されている。なお、『アルマゲスト』では現代用いられている三角関数は用いられておらず、代わりに標準的な円の半径をR（＝60）として、${\displaystyle 2R\sin(\theta /2)}$を用いている^[4]。また、『アルマゲスト』の証明は、上記二つのいずれとも異なって、より初等的である。