トレミーの定理

トレミーの定理（トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem）とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式：

${\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる^[1]。

トレミーの定理を一般化したオイラーの定理（オイラーのていり）とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式（英: Ptolemy's inequality）：

${\displaystyle AC\cdot BD\leqq AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

が成り立つという幾何学の定理のことである^[2]。逆に、必ずしも同一平面上にない4点 A, B, C, D に関して、辺の長さに関する等式：

${\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

が成り立つならば、4点 A, B, C, D は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 ABCD は同一の円に内接する^[3]。

証明

計算の便宜をはかり、a = AD, b = AB, c = BC, d = DC とおくことにする。また、A = ∠A = ∠DAB, B = ∠B = ∠ABC, C = ∠C = ∠BCD, D = ∠D = ∠CDA のこととする。

余弦定理および内接四角形の性質より、

${\displaystyle BD^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos A}$、

${\displaystyle BD^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C=c^{2}+d^{2}+2cd\cos A}$

が成り立つ。ここから cos A を消去して、

${\displaystyle (ab+cd)BD^{2}=(ad+bc)(ac+bd)}$

を得る。また AC について同様にして

${\displaystyle (ad+bc)AC^{2}=(ab+cd)(ac+bd)}$

となるから、2 式を掛けて

${\displaystyle (ab+cd)(bc+ad)AC^{2}\cdot BD^{2}=(ac+bd)^{2}(ad+bc)(ab+cd)}$

を得る。これを整理すれば、

${\displaystyle AC\cdot BD=ac+bd}$

となる。すなわち、

${\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

が示された。

円に関する反転を用いた証明

円に関する反転を用いた証明

Dを中心とする適当な円 ${\displaystyle \Gamma }$ に関する反転 によってABCDの外接円が直線に移されるようにする。 このとき ${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'}$ が成り立つ。 このとき、一般性を失わずに ${\displaystyle \Gamma }$ の半径を1と置くことができる。 このとき ${\displaystyle A'B',B'C',A'C'}$はそれぞれ以下のように表される。

${\displaystyle {\frac {AB}{DA\cdot DB}},{\frac {BC}{DB\cdot DC}},{\frac {AC}{DA\cdot DC}}}$

この式の両辺に ${\displaystyle DA\cdot DB\cdot DC}$ をかけて最初の式に代入するとトレミーの定理が得られる。

一般化

一般化にケイシーの定理がある。