ドロー＝ファルニー円

初等幾何学におけるドロー＝ファルニー円（ドロー＝ファルニーえん、英: Droz-Farny circle）は、三角形に対して定義される円の一つである。シュタイナーによって提起され、1901年にアーノルド・ドロー＝ファルニーに解決された。

第一ドロー＝ファルニー円

定義

△ABCの中点三角形を△M_AM_BM_C、垂心をHとする。Hを中心とする円と△M_AM_BM_Cのそれぞれの辺の交点と対応する基準三角形の頂点との距離dはすべて等しい。この円をドロー＝ファルニー円（Droz-Farny circles）という^[1]。

dが外接円半径Rに一致するとき、特に第一ドロー＝ファルニー円（First Droz-Farny circle）という^[2]。

性質

基準三角形△ABCの外心をO、垂心三角形を△H_AH_BH_Cとする。それぞれH_A, H_B, H_Cを中心としOを通る円とBC, CA, ABの交点は第一ドローファルニー円上にある。

半径

第一ドロー＝ファルニー円の半径は次の式で表される。

${\displaystyle {\sqrt {\frac {{OH}^{2}+R^{2}}{2}}}}$

一般化

第一ドローファルニー円は垂心と外心の関係の一つである等角共役を元に一般化できる^[3]。

基準三角形△ABCについて、等角共役な点P, Qを用意する。Pの垂足三角形を△P_AP_BP_Cとする。それぞれP_A, P_B, P_Cを中心とし、Qを通る円とBC, CA, ABの交点は同一円周上にある。中心はPである。

この円をQに対して同様に作ったときP, Qに対する一般化された円の半径は等しくなる。Q = Oとしたときにできる円を第二ドロー＝ファルニー円（Second Droz-Farny circle）という。

次の定理はダオ・タイン・オアイによる一般化である^[4]。

直線OA, OB, OC上にOO_A = OO_B = OO_Cを満たすように点O_A, O_B, O_Cを取る。この3点を中心とする同一半径の円と対応する中点三角形の辺の延べ6交点は共円である。

円内接四角形における類似物

円に内接し、対角線が直交する四角形の外心をO、反中心をHとする。Hのそれぞれの辺における直交射影を中心とするOを通る円と辺の交点延べ8点は共円である^[5][6]。O, Hを入れ替えても主張は成立する。