ハイゼンベルクの運動方程式

ハイゼンベルクの運動方程式（英: Heisenberg equation of motion）は、量子力学をハイゼンベルク描像によって記述する場合の、オブザーバブルの時間発展についての基礎方程式である。

今日、この式に対してハイゼンベルクの名前が用いられることが多いが、歴史的にはこの方程式を与えたのはハイゼンベルクではなく1925年のボルンとヨルダンであり、また同年にディラックも独立にこの式を提出した^[1][2][3]。この方程式がシュレーディンガー描像におけるシュレーディンガー方程式と数学的に等価であることは、エルヴィン・シュレーディンガーとポール・ディラックによって独立に証明された。

ハイゼンベルクの運動方程式

ハイゼンベルク描像での物理量（オブザーバブル）${\displaystyle {\hat {A}}_{\mathrm {H} }(t)}$ 、ハミルトニアン${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {H} }(t)}$による以下の式をハイゼンベルクの運動方程式と言う。

${\displaystyle i\hbar {\frac {\mathrm {d} {\hat {A}}_{\mathrm {H} }(t)}{\mathrm {d} t}}=[{\hat {A}}_{\mathrm {H} }(t),{\hat {H}}_{\mathrm {H} }(t)]}$

この方程式はハミルトン力学での物理量の時間発展をあらわす式（ポアソンの括弧式を使ったもの）に類似している。

シュレーディンガー描像でも時間依存する物理量 ${\displaystyle {\hat {A}}_{\mathrm {S} }(t)}$ が含まれる場合、ハイゼンベルクの運動方程式は以下のように修正される。

${\displaystyle i\hbar {\frac {\mathrm {d} {\hat {A}}_{\mathrm {H} }(t)}{\mathrm {d} t}}=[{\hat {A}}_{\mathrm {H} }(t),{\hat {H}}_{\mathrm {H} }(t)]+{\hat {U}}^{\dagger }(t)\left({\frac {\mathrm {d} {\hat {A}}_{\mathrm {S} }(t)}{\mathrm {d} t}}\right){\hat {U}}(t)}$

ここで ${\displaystyle {\hat {A}}_{\mathrm {S} }(t)\ }$ はシュレーディンガー描像での物理量 ${\displaystyle A}$ の演算子、${\displaystyle {\hat {U}}}$は時間発展演算子である。