ハウスホルダー作用素

線型代数に於いてハウスホルダー作用素は以下の様に定義される．${\displaystyle V}$を有限次元の内積空間として，内積を${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$で表し，${\displaystyle u\in V}$を単位ベクトルとする．このとき${\displaystyle H_{u}\colon V\to V}$は，

${\displaystyle H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u}$

で定義される．この作用素はベクトル${\displaystyle x}$を${\displaystyle u}$を法線ベクトルに持つ平面に関して鏡映させる．零ベクトルでない${\displaystyle q\in V}$について，以下の様にハウスホルダー作用素の式に於いて直接正規化することも一般的である．

${\displaystyle H_{q}(x)=x-2{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}q.}$

性質

ハウスホルダー作用素は以下の性質を満たす．

• 線型性を持つ．即ち，${\displaystyle V}$を${\displaystyle K}$上の線型空間として，

${\displaystyle \forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\ \forall (x,y)\in V^{2},\ H_{q}(\lambda x+\mu y)=\lambda H_{q}(x)+\mu H_{q}(y).}$

• 自己随伴（エルミート作用素を参照）である．
• 特に${\displaystyle K=\mathbb {R} }$のとき直交変換であり，${\displaystyle K=\mathbb {C} }$のときユニタリ変換である．

特別な場合

実数または複素数上の線型空間については，ハウスホルダー作用素はハウスホルダー変換と言われる．

参考文献

• Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5

• Olver, Peter J.; Shakiban, Chehrzad (2018), Advanced Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (Second ed.), Springer, ISBN 978-3-319-91040-6