フォドアの補題

数学、特に集合論においてフォドアの補題(あるいはフォドアの押し下げ補題)は以下の主張を指す:

フォドアの補題 ―  ${\displaystyle \kappa }$ を非可算な正則基数、${\displaystyle S}$ を ${\displaystyle \kappa }$ の定常集合、順序数関数 ${\displaystyle f:S\rightarrow \kappa }$ を押し下げ関数(regressive function; すなわち、全ての ${\displaystyle \alpha \in S}$, ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ に対し ${\displaystyle f(\alpha )<\alpha }$)とする。

このとき、ある順序数 ${\displaystyle \gamma \in \kappa }$ と、ある定常集合 ${\displaystyle S_{0}\subseteq S}$ があって、全ての ${\displaystyle \alpha \in S_{0}}$ に対して ${\displaystyle f(\alpha )=\gamma }$ を満たす(すなわち、${\displaystyle S_{0}}$ 上で ${\displaystyle f}$ は定値関数である)。

証明

証明 — このような定常集合 ${\displaystyle S_{0}}$ が存在しないとすれば、任意の ${\displaystyle \gamma <\kappa }$ に対し ${\displaystyle f^{-1}(\gamma )}$ (${\displaystyle =\{\alpha \in S:f(\alpha )=\gamma \}}$) は非定常である。ゆえに各 ${\displaystyle \gamma <\kappa }$ について ${\displaystyle f^{-1}(\gamma )}$ と交わらないclub集合 ${\displaystyle C_{\gamma }}$ が取れ、任意の ${\displaystyle \alpha \in S\cap C_{\gamma }}$ について ${\displaystyle f(\alpha )\neq \gamma }$ である。これらの族 ${\displaystyle (C_{\gamma })_{\gamma <\kappa }}$ の対角線共通部分を ${\displaystyle C:=\Delta _{\gamma <\kappa }C_{\gamma }}$ (${\displaystyle =\{\beta <\kappa$ :\beta \in \bigcap _{\gamma <\beta }C_{\gamma }\}} ) とおく。${\displaystyle \kappa }$ が正則より対角線共通部分 ${\displaystyle C}$ は再びclubとなり、${\displaystyle S}$ が定常なので ${\displaystyle S\cap C}$ も定常である。(${\displaystyle 0\neq }$) ${\displaystyle \alpha \in S\cap C}$ を一つ選ぶ。このとき ${\displaystyle \alpha \in \bigcap _{\gamma <\alpha }C_{\gamma }}$ であり、全ての ${\displaystyle \gamma <\alpha }$ に対して ${\displaystyle \alpha \in C_{\gamma }}$ である。よってどんな ${\displaystyle \gamma <\alpha }$ についても、${\displaystyle \alpha \notin f^{-1}(\gamma )}$ すなわち ${\displaystyle f(\alpha )\neq \gamma }$。従って ${\displaystyle f(\alpha )\geq \alpha \in S}$ となるが、${\displaystyle f}$ が押し下げ関数だったことに矛盾する。//

この補題はハンガリー人集合論者 Géza Fodor によって1956年に初めて証明された。しばしば「押し下げ補題(The Pressing Down Lemma)」などと呼ばれたりもする。

フォドアの補題はトマーシュ・イェフによる定常集合に関しても成り立ち、一般化された定常集合に関しても同様に成り立つ。

参考文献

• G. Fodor, Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen, Acta Sci. Math. Szeged, 17(1956), 139-142.
• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Part I, Chapter 8.
• Karel Hrbacek & Thomas Jech, Introduction to Set Theory, 3rd edition, Chapter 11, Section 3.
• Mark Howard, Applications of Fodor's Lemma to Vaught's Conjecture. Ann. Pure and Appl. Logic 42(1): 1-19 (1989).
• Simon Thomas, The Automorphism Tower Problem. PostScript file at

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