簡単のため1次元で考える。原子間の距離
で規則正しく並んだ1次元の結晶を考えると、結晶中の電子が感じるポテンシャルは次のような周期性を持つ。

結晶中の電子を表すハミルトニアンは、次のように位置に依存する演算子である。

ポテンシャルと同様に、このハミルトニアンも原子間の距離
だけの周期性を持つ。

ここで原子間の距離
だけの並進を行う操作を表す並進演算子を
とすると、


すなわち
と
は互いに交換し、同時固有関数を持つ。

― (1)
ここで
,
は
,
の固有値である。
ここで、この固有関数について周期を
とする周期境界条件(ボルン=フォン・カルマン境界条件)を課す。
― (2)
(1)式より、
― (3)
ここで(2)式と(3)式を比べると、
(
:整数)
― (4)
ここで

と定義すると、(4)式は、

となる。よって、
の値を(1)式に代入すると、

となる。
3次元の場合も同様に、格子が3方向に基本格子ベクトル
,
,
を持ち、格子ベクトル
を
(
,
,
:整数)
とすると、並進演算子
を用いて3次元でのブロッホの定理が証明される。
― (5)
また、

によって定義した関数
は、(5)式より、

となり、格子の周期性を持つ関数であることが示される。
このことより、ブロッホ関数の一般形は、
を格子の周期性を持つ関数
として、

と表されることが証明された。