ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布（英: Bernoulli distribution）とは、数学において、確率 p で 1 を、確率 q = 1 − p で 0 をとる、離散確率分布である。ベルヌーイ分布という名前は、スイスの科学者ヤコブ・ベルヌーイに因んでつけられた名前である。

ベルヌーイ分布

確率質量関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle 0<p<1}$
台	${\displaystyle \{0,1\}}$
確率質量関数	${\displaystyle {\begin{cases}q=(1-p)&{\text{for }}k=0\\p&{\text{for }}k=1\end{cases}}}$
累積分布関数	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}k<0\\1-p&{\text{for }}0\leq k<1\\1&{\text{for }}k\geq 1\end{cases}}}$
期待値	${\displaystyle p}$
中央値	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0.5&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}}$
最頻値	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0,1&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}}$
分散	${\displaystyle p(1-p)(=pq)}$
歪度	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}$
超過尖度	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{pq}}}$
エントロピー	${\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)}$
モーメント母関数	${\displaystyle q+pe^{t}}$
特性関数	${\displaystyle q+pe^{it}}$
フィッシャー情報量	{{{フィッシャー情報量}}}

X をベルヌーイ分布に従う確率変数とすれば、確率質量関数は

${\displaystyle P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=q=1-p}$

である。これを

${\displaystyle P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}\qquad (k=0,1)}$

と一括することもできる。確率変数 X の平均は p, 分散は pq = p(1 − p) である。 ベルヌーイ分布は指数型分布族の一つである。

関連項目

• ベルヌーイ試行
• ベルヌーイ過程
• 二項分布