ベールイの定理

ベールイの定理（ベールイのていり、英: Belyi's theorem）とは、代数的数を係数として定義された任意の非特異代数曲線 C は、リーマン球面上3点のみで分岐する分岐被覆となるようなコンパクト・リーマン面であるという定理である。

この定理はゲンナジー・ウラジーミロヴィチ・ベールイ（英語版）によって1979年に証明された。 当時驚くべき結果だと考えられ、代数的数体上の非特異代数曲線を組合せ的なデータで記述する子供の絵の理論をグロタンディークが構築する契機となった。

人名のBelyi（露: Белый）はベールイとカナ表記されることもあれば^[1]、数学の文献においてベリーとカナ表記されることもある^[2]。

上半平面の商

ベールイの定理から、考えているリーマン面は商空間

H/Γ

を尖点でコンパクト化したものと同型となることがわかる。ここで、H は上半平面、 Γ はモジュラー群の有限指数部分群である。 モジュラー群は非合同部分群（英語版）を持つので、これは定理の曲線がモジュラー曲線となることを意味しない。

ベールイ関数

コンパクト・リーマン面 S からリーマン球面 P¹(C)への正則写像であって、3点のみで分岐するものをベールイ関数と言う。メビウス変換と合成することにより、この3点は${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$とすることができる。 ベールイ関数は子供の絵によって組合せ的に記述することができる。

ベールイ関数と子供の絵は、ベールイの定理は現れないものの、少なくともフェリックス・クラインの研究にまで遡ることができる。クラインは論文(Klein 1879)の中で、モノドロミー群が PSL(2,11) である複素射影直線の11重被覆の研究にこれらを用いた。^[3]

応用

ベールイの定理はベールイ関数の存在定理であり、その発見以来、ガロアの逆問題の研究に頻繁に利用されている。