ペル方程式

ペル方程式（ペルほうていしき、英: Pell's equation）とは、n を平方数ではない自然数として、未知整数 x, y について

x² − ny² = 1

の形のディオファントス方程式である。

ペル方程式の一般的な解法は、1150年にインドのバースカラ2世が見つけている。彼はブラーマグプタのチャクラバーラ法（英語版）を改良した解法を使い、同じ技法を応用して不定二次方程式や二次ディオファントス方程式の一般解も見つけた。西洋におけるペル方程式の一般的な解法は、ウィリアム・ブランカーが発見した。しかし、オイラーはこの方程式を研究したのはジョン・ペルであると誤解し「ペル方程式」と命名したため、その名前が広く使われるようになった。

解法

平方数でない正の整数 n に対してペル方程式は必ず自明な解 (x = 1, y = 0) 以外の整数解を持つことが知られている。また1つの解 (x, y) を得たとすれば、

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x+y{\sqrt {n}})^{k}}$

は全てペル方程式の解になる。また逆にペル方程式の全ての解は最小解の冪乗になることが知られている。

最小解を得る法としては、連分数展開からの近似分数を利用する方法が良く用いられる。

具体的には、√n の連分数展開を、√n = A = [a₀; a₁, a₂, …, a_m] と置き、近似分数 P/Q を、P/Q = B = [a₀; a₁, a₂, …, a_m−1]とすると、(x, y) = (P, Q) が解になる。ただし、周期 m が奇数の場合は、右辺 = −1 の解が得られるので、1 の解を得るには上記の式で二乗する必要がある。ここで、A は a₀ を整数部分、a₁, a₂, …, a_m を循環節とする無限連分数で、B は循環節を一周期だけ採り、最後の項 a_m を除いた、有限連分数である。ちなみに、a₁, a₂, …, a_m−1 は左右対称となっており、a_m = 2a₀ が常に成立する。

例えば n が 7 ならば、√7 = [2; 1, 1, 1, 4] (周期は 4 で偶数) なので、[2; 1, 1, 1] から近似分数 8/3 が得られ、(x, y) = (8, 3) が最小解となる。n が 61 の場合は、√61 = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14]（周期は 11 で奇数）なので近似分数 29718/3805 が得られ、右辺 = −1 の最小解は ${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(29718,3805)}$ となる。右辺 = 1 の最小解は、${\displaystyle x+y{\sqrt {61}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {61}})^{2}}$ から (x, y) = (1766319049, 226153980) となる。

解の公式から

${\displaystyle \alpha =x+y{\sqrt {n}},\;\beta =x-y{\sqrt {n}}}$

とおくと、

${\displaystyle x_{k}={\frac {\alpha ^{k}+\beta ^{k}}{2}},\;y_{k}={\frac {\alpha ^{k}-\beta ^{k}}{2{\sqrt {n}}}}}$

が得られる。つまり、ペル方程式の解に対して、y_k/y, 2x_k はリュカ数列を構成する。

拡張1

冒頭の不定方程式の右辺を 1 のかわりに −1 としたもの

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1}$

もペル方程式と呼ばれることがあるが、これは n の値によっては解を持たないこともある。

解を持つ n と、解の例をいくつか挙げる：n = 2 のとき (x, y) = (1, 1), n = 5 のとき (x, y) = (2, 1), n = 13 のとき (x, y) = (18, 5)。

どのような n が -1 の解を持つのかは、未解決問題だが、√n を連分数展開したときの循環節の長さ(周期)が奇数のとき、かつその場合に限り解を持つことが、知られている。−1 の解を持つ n の必要条件としては、

1. 4の倍数でない
2. 4k + 3 型の素因数を持たない
3. k² + 2k/a (0 < a < 2k, a | 2k) の形でない^{[注 1]}

が挙げられる。1, 2は、

N = x² + 1 = ny²

と置いたとき、N が2平方和に分解されており、gcd(x, 1) = 1 であることから、2平方和定理からの自明な帰結として得られる。3は、この形の数の平方根が ${\displaystyle {\sqrt {k^{2}+{\frac {2k}{a}}}}=[k;a,2k,a,2k,\cdots ]}$と、周期2の連分数に展開されることから、導かれる。例えば、a = k = 12 なら √12²+2 = √146 = [12; 12, 24, 12, 24, …] である^{[注 2]}。上記が、必要条件であり、必要十分条件でないことは、34 (= 2 × 17), 205 (= 5 × 41), 221 (= 13 × 17) などの多数の反例で示される。

十分条件の報告例は少ないが、n が 4k + 1 型の素数の場合や 8k + 5 型の素数の2倍の場合も、必ず解を持つことが報告されている^[1]。また、n = k² + 1 の形であれば、(x, y) = (k, 1) が解になることは、明らかであろう^{[注 3]}。

拡張2

右辺を1の代わりに4としたもの

x² − ny² = ±4

もペル方程式とよばれることがあるが、これは二次体の単数と深く関連している。K を二次体とし、D をその判別式とすると、

x² − Dy² = ±4

の整数解に対して

(x + y√D)/2

全体は K の単数全体と一致する。特に最小解を (x₁, y₁) とおくと、

${\displaystyle \alpha ={\frac {x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}}}{2}},\beta ={\frac {x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}}}{2}}}$

は K の基本単数となり、この方程式の解について、通常のペル方程式の場合と類似した公式

${\displaystyle {\frac {x_{k}+y_{k}{\sqrt {D}}}{2}}=\left({\frac {x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}}}{2}}\right)^{k}}$

が得られる。

最小解の一覧表

x² − ny² = 1 の、115 以下の n についての最小解の一覧表を、以下に示す。

n	x	y		n	x	y		n	x	y
2	3	2		42	13	2		79	80	9
3	2	1		43	3482	531		80	9	1
5	9	4		44	199	30		82	163	18
6	5	2		45	161	24		83	82	9
7	8	3		46	24335	3588		84	55	6
8	3	1		47	48	7		85	285769	30996
10	19	6		48	7	1		86	10405	1122
11	10	3		50	99	14		87	28	3
12	7	2		51	50	7		88	197	21
13	649	180		52	649	90		89	500001	53000
14	15	4		53	66249	9100		90	19	2
15	4	1		54	485	66		91	1574	165
17	33	8		55	89	12		92	1151	120
18	17	4		56	15	2		93	12151	1260
19	170	39		57	151	20		94	2143295	221064
20	9	2		58	19603	2574		95	39	4
21	55	12		59	530	69		96	49	5
22	197	42		60	31	4		97	62809633	6377352
23	24	5		61	1766319049	226153980		98	99	10
24	5	1		62	63	8		99	10	1
26	51	10		63	8	1		101	201	20
27	26	5		65	129	16		102	101	10
28	127	24		66	65	8		103	227528	22419
29	9801	1820		67	48842	5967		104	51	5
30	11	2		68	33	4		105	41	4
31	1520	273		69	7775	936		106	32080051	3115890
32	17	3		70	251	30		107	962	93
33	23	4		71	3480	413		108	1351	130
34	35	6		72	17	2		109	158070671986249	15140424455100
35	6	1		73	2281249	267000		110	21	2
37	73	12		74	3699	430		111	295	28
38	37	6		75	26	3		112	127	12
39	25	4		76	57799	6630		113	1204353	113296
40	19	3		77	351	40		114	1025	96
41	2049	320		78	53	6		115	1126	105

x² − ny² = −1 の、653 以下の n についての最小解の一覧表を、以下に示す。

n	ｘ	ｙ		n	ｘ	ｙ		n	ｘ	ｙ
2	1	1		193	1764132	126985		409	111921796968	5534176685
5	2	1		197	14	1		421	44042445696821418	2146497463530785
10	3	1		202	3141	221		425	268	13
13	18	5		218	251	17		433	7230660684	347483377
17	4	1		226	15	1		442	21	1
26	5	1		229	1710	113		445	4662	221
29	70	13		233	23156	1517		449	189471332	8941705
37	6	1		241	71011068	4574225		457	59089951584	2764111349
41	32	5		250	4443	281		458	107	5
50	7	1		257	16	1		461	24314110	1132421
53	182	25		265	6072	373		481	964140	43961
58	99	13		269	82	5		485	22	1
61	29718	3805		274	1407	85		493	683982	30805
65	8	1		277	8920484118	535979945		509	395727950	17540333
73	1068	125		281	1063532	63445		521	128377240	5624309
74	43	5		290	17	1		530	23	1
82	9	1		293	2482	145		533	6118	265
85	378	41		298	409557	23725		538	69051	2977
89	500	53		313	126862368	7170685		541	1361516316469227450	58536158470221581
97	5604	569		314	443	25		554	174293	7405
101	10	1		317	352618	19805		557	118	5
106	4005	389		325	18	1		565	14752278	620633
109	8890182	851525		337	1015827336	55335641		569	2894863832	121359005
113	776	73		338	239	13		577	24	1
122	11	1		346	93	5		586	4115086707	169992665
125	682	61		349	9210	493		593	600632	24665
130	57	5		353	71264	3793		601	139468303679532	5689030769845
137	1744	149		362	19	1		610	71847	2909
145	12	1		365	3458	181		613	481673579088618	19454612624065
149	113582	9305		370	327	17		617	41009716	1650989
157	4832118	385645		373	5118	265		626	25	1
170	13	1		389	1282	65		629	7850	313
173	1118	85		394	395023035	19900973		634	65999458125	2621173333
181	1111225770	82596761		397	20478302982	1027776565		641	36120833468	1426687145
185	68	5		401	20	1		653	2291286382	89664965