ポアソン和公式

数学においてポアソン和公式（ポアソンわこうしき、英語: Poisson summation formula）^{[注 1]}とは、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを主張する公式である。シメオン・ドニ・ポアソン(Siméon Denis Poisson)によって発見された。

証明

以下の式変形によって示される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\bigg (}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi kx}dx{\bigg )}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\underbrace {{\Bigg (}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}{\Bigg )}} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bigg (}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x-n)dx{\bigg )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\end{aligned}}}$

ここで、

• ${\displaystyle {\hat {f}}(k)}$ は ${\displaystyle f(x)}$ のフーリエ変換
• ${\displaystyle \delta (x)}$ はデルタ関数

である。

応用

テータ関数、リーマンゼータ関数に関連した証明に応用される。

一般化

セルバーグ跡公式は本質的に一般化となっている。

脚注

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注釈

1. アンドレ・ヴェイユによれば、実際にはコーシーの公式である。ヴェイユが全集で1964年の論文「ユニタリ作用素のある種の群について」につけた自註参照（アンドレ・ヴェイユ 著、杉浦光夫 訳『数学の創造 著作集自註』（新版）日本評論社、2018年、189頁。ISBN 978-4-535-78860-2。）。

関連項目

• フーリエ変換
• テータ関数
• リーマンゼータ関数
• シメオン・ドニ・ポアソン