マクスウェル・ベティの相反作用の定理

マクスウェル・ベティの相互作用の定理（マクスウェル・ベティのそうごさようのていり、英語: Maxwell-Betti reciprocal work theorem）とは、構造力学における弾性体の定理である。1872年、エンリコ・ベッチによって発見された^[1]。弾性体上に2種類の荷重群${\displaystyle \{P_{i}|i=1,2,\dots \},\{P'_{k}|k=1,2,\dots \}}$をかけることを考える。一つ目の荷重群${\displaystyle \{P_{i}\}}$のみをかけたときにもう一方の荷重群${\displaystyle \{P'_{k}\}}$の作用点の作用方向変位成分を${\displaystyle \{u_{k}\}}$とする。また、荷重群${\displaystyle \{P'_{k}\}}$のみをかけたときの${\displaystyle \{P_{i}\}}$の作用点の作用方向変位成分を${\displaystyle \{u'_{i}\}}$とする。このときベティの相反定理：

${\displaystyle \sum _{i}P_{i}u'_{i}=\sum _{k}P'_{k}u_{k}}$

が成り立つ^[2]。

特にi = k = 1, P₁ = P '₁ = 1とすると、マクスウェルの相反定理：

任意の点Aに作用する単位荷重P_Aによって他の点Bに生じる変位（の、別に点Bに作用される単位荷重P_Bの方向への成分）u'_Aは、P_Bによる点AのP_Aの方向への変位量（の、P_Aの方向への成分）u_Bに等しい。すなわち

${\displaystyle u'_{A}=u_{B}}$

が成り立つ。

証明

簡単な証明としてi = k = 1とし、弾性体に力P_AとP_Bの2つの荷重を作用させる。ただし作用させる手順は次の2通りを考える。

• P_Aを作用させた後、P_Bを作用させる。このとき、
  1. P_Aを作用させた際の点Aの変位をu_AAとすると、外力仕事は(1/2)P_A u_AA
  2. その後P_Bを作用させた際の点A, Bの変位をそれぞれu_AB, u_BBとすると、外力仕事は(1/2)P_B u_BB + P_A u_AB
• P_Bを作用させた後、P_Aを作用させる。このとき、
  1. P_Bを作用させた際の点Bの変位をu_BBとすると、外力仕事は(1/2)P_B u_BB
  2. その後P_Aを作用させた際の点A, Bの変位をそれぞれu_AA, u_BAとすると、外力仕事は(1/2)P_A u_AA + P_B u_BA

弾性体に蓄えられるひずみエネルギーは経路によらないため、それぞれの手順による外力仕事の和は同じでなければならない。したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{2}}P_{A}u_{AA}\right)+\left({\frac {1}{2}}P_{B}u_{BB}+P_{A}u_{AB}\right)&=\left({\frac {1}{2}}P_{B}u_{BB}\right)+\left({\frac {1}{2}}P_{A}u_{AA}+P_{B}u_{BA}\right)\\\therefore P_{A}u_{AB}&=P_{B}u_{BA}\\\end{aligned}}}$

が成り立つ。