モーデル作用素

モーデル作用素(モーデルさようそ、Mordell operator)とは、関数${\displaystyle \Delta (z):=q\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)^{24}}$に作用する作用素。

定義

各素数${\displaystyle p}$に対して、 モーデル作用素${\displaystyle T(p)}$は、ラマヌジャンが考察した関数${\displaystyle \Delta (z)}$ ^[1]

${\displaystyle \Delta (z):=q\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)^{24}=:\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n},\quad q:=\exp \left(2\pi iz\right),\quad z\in H:=\{\zeta |\mathrm {Im} \zeta >0\},}$

に作用する作用素として、以下のように定義される ^[2]。

${\displaystyle (T(p)\Delta )(z):={\frac {1}{p}}\sum _{l=0}^{p-1}\Delta \left({\frac {z+l}{p}}\right)+p^{11}\Delta (pz).}$

歴史

1916年にラマヌジャンは${\displaystyle \tau (p)}$に関して、次の2つの命題を予想した^[3]。

• ディリクレ級数${\displaystyle L(s,\Delta )}$を${\displaystyle L(s,\Delta ):=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)n^{-s}}$と定義すると${\displaystyle L(s,\Delta )=\prod _{p=\mathrm {prime\;number} }\left(1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}\right)^{-1}}$が成立する。
• 素数${\displaystyle p}$に対して、${\displaystyle |\tau (p)|<2p^{11/2}}$が成立する。(「ラマヌジャン予想」と呼ばれる。1974年にドリーニュによって証明された^[4][5][6]。)

さらに、次の命題を証明した^[3]。

• 素数${\displaystyle p}$に対して、${\displaystyle \tau (p)\equiv 1+p^{11}(\mod 691).}$

1917年、モーデルはこの3つのうち最初の命題を証明した^{[2][7] [8]}。 その時の証明の中で、モーデル作用素を定義し、 ${\displaystyle \Delta (z)}$がモーデル作用素の固有状態で、その固有値が${\displaystyle \tau (p)}$であることを示した。

${\displaystyle (T(p)\Delta )(z)=\tau (p)\Delta (z).}$