ユークリッドの補題

ユークリッドの補題（ユークリッドのほだい、英: Euclid's lemma）またはユークリッドの第一定理（ユークリッドのだいいちていり、英: Euclid's first theorem）とは素数に関する基本的な性質について述べた次の補題である：

ユークリッドの補題 ― 素数 p が 2 つの整数の積 ab を割り切るなら、その素数 p は a または b の少なくとも 1 つを割り切る。

この性質は整数論の基本定理を証明する鍵となる^{[注釈 1] [注釈 2]}。

ユークリッドの補題の名は、古代ギリシアの数学者アレクサンドリアのエウクレイデスの著作『原論』第7巻の命題30で示されたことによる。

例

たとえば、p = 19、a = 133、b = 143 の場合、ab = 133 × 143 = 19019 について、ab = 19019 は p = 19 で割り切れるので、ユークリッドの補題から a = 133, b = 143 の少なくとも一方は p = 19 で割り切ることができる。実際、133 ÷ 19 = 7 であり a = 133 は p = 19 で割り切れる。

反例

ユークリッドの補題は p が合成数の場合には成り立たない。 たとえば、p = 10、a = 4、b = 15 の場合、合成数 p = 10 は積 ab = 4 × 15 = 60 を割り切るにもかかわらず、 p = 10 は a = 4 を割り切れないし b = 15 も割り切ることができない (ab = 60 = 10 × 6)。

定式化

p を素数とし、2 つの整数 a, b の積 ab は p で割り切れるとする（このことは記号的に p ${\displaystyle \mid }$ ab と表す。これの否定は p ${\displaystyle \nmid }$ ab と表され、ab が p で割り切れないことを示す）。このとき p ${\displaystyle \mid }$ a または p ${\displaystyle \mid }$ b、あるいはその両方が成り立つ。

${\displaystyle p\mid ab\Rightarrow p\mid a\lor p\mid b\qquad \left(p\nmid ab\lor p\mid a\lor p\mid b\right).}$

同値な言明として以下のようなものがある。

• p ${\displaystyle \nmid }$ a かつ p ${\displaystyle \nmid }$ b ならば p ${\displaystyle \nmid }$ ab

${\displaystyle p\nmid a\land p\nmid b\Rightarrow p\nmid ab}$

• p ${\displaystyle \nmid }$ a かつ p ${\displaystyle \mid }$ ab ならば p ${\displaystyle \mid }$ b

${\displaystyle p\nmid a\land p\mid ab\Rightarrow p\mid b}$

一般化

一般化された補題もまたユークリッドの補題と呼ばれる：

定理 ― c が a と互いに素であり、かつ c ${\displaystyle \mid }$ ab ならば、c ${\displaystyle \mid }$ b である。

この定理がユークリッドの補題の一般化であることは、c が素数なら

• c ${\displaystyle \mid }$ a
• c は a と互いに素のため c ${\displaystyle \nmid }$ a、従って c ${\displaystyle \mid }$ b

のいずれかであることによる。

証明

ベズーの補題による証明

ベズーの補題を利用した証明をする^[1]。ベズーの補題によれば、x, y が互いに素な整数であるなら（x, y の最大公約数が 1 であるなら）、

${\displaystyle rx+sy=1}$

(1)

を満たすような整数 r, s が存在する。

a, c が互いに素であり、かつ c ${\displaystyle \mid }$ ab であるとすれば、ベズーの等式 (1) より、以下の等式を得る。

${\displaystyle rc+sa=1.}$

(2)

(2) の両辺に b を掛ければ

${\displaystyle rcb+sab=b}$

(3)

となる。(3) の左辺の第一項は c で割り切れ、第二項は ab で割り切れるので仮定より c でも割り切れる。従ってそれらの和も c で割り切れるから c ${\displaystyle \mid }$ b が成り立つ。これは上述のユークリッドの補題の一般化になっている。

最小公倍数・最大公約数の性質から

公倍数は最小公倍数の倍数である。…①

公約数は最大公約数の約数である。…②

二つの正整数 ${\displaystyle a,c}$ の最小公倍数を ${\displaystyle l}$、最大公約数を ${\displaystyle g}$ とするとき、

${\displaystyle ac=lg}$

の関係がある。…③

③は①②より直接証明できる。

今 ${\displaystyle a,c}$ が互いに素であるとき ${\displaystyle g=1}$．ゆえに ${\displaystyle l=lcm(a,c)=ac}$．…④

ここでユークリッドの補題の前提条件として ${\displaystyle a,c}$ が互いに素であり、かつ ${\displaystyle c\mid ab}$ のとき， ${\displaystyle ab}$ は ${\displaystyle c}$ の倍数かつ、当然 ${\displaystyle a}$ の倍数であるから、${\displaystyle ab}$ は ${\displaystyle a,c}$ の公倍数． ④より ${\displaystyle lcm(a,c)=ac}$ で①より ${\displaystyle ac\mid ab}$．ゆえに ${\displaystyle c\mid b}$. これが証明すべきことであった．^[2]

『原論』の証明

『原論』では第7巻の命題30において、ユークリッドの補題が証明されている。『原論』にある証明はそのままでは意味を理解することが難しいので、Heath (1956, pp. 331f)にある証明を引用する。

命題19

もし四つの数が比例するならば，第1と第4の積は第2と第3の積に等しいであろう。そしてもし第1と第4の積が第2と第3の積に等しいならば，四つの数は比例するであろう^{[注釈 3]}。

命題20

同じ比をもつ2数のうち最小の数はそれと同じ比をもつ2数を，大きい数が大きい数を，小さい数が小さい数をそれぞれ割り切り，その商は等しい^{[注釈 4]}。

命題21

互いに素である2数はそれらと同じ比をもつ2数のうち最小である^{[注釈 5]}。

命題29

すべて素数はそれが割り切らないすべての数に対して素である^{[注釈 6]}。

命題30

もし二つの数が互いにかけあわせてある数をつくり，2数の積を何らかの素数が割り切るならば，それは最初の2数の一つを割り切るであろう^{[注釈 7]}。

証明

素数 c が ab を割り切るならば，c は a または b を割り切るであろう。
c が a を割り切らないと仮定せよ。
そうすれば，［命題29］より，c と a は互いに素である。
ab＝mc と仮定せよ。
そうすれば，［命題19］より，c ： a＝b ： m となる。
そうすれば，［命題20］と［命題21］より，自然数 n≧1 があって，b＝nc となる。
したがって，c は b を割り切る。
同様にして，c が b を割り切らないとき，c は a を割り切る。
したがって，c は a または b を割り切る。
これが証明すべきことであった^[8]。