ラゲールの陪多項式

ラゲールの陪多項式（ラゲールのばいたこうしき、associated Laguerre polynomials）とは、常微分方程式

${\displaystyle \left(x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(k+1-x){\frac {d}{dx}}+(n-k)\right)L_{n}^{k}(x)=0}$

を満たす多項式 ${\displaystyle L_{n}^{k}(x)}$ のことを言う。ただし ${\displaystyle k}$ は ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ を満たす整数である。

${\displaystyle k=0}$ のときの微分方程式はラゲールの微分方程式と呼ばれ、その解 ${\displaystyle L_{n}(x)}$ をラゲールの多項式という。 ラゲールの陪多項式とラゲールの多項式は次の関係で結ばれている。

${\displaystyle L_{n}^{k}(x)={\dfrac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}(x)}$

またロドリゲスの公式 (Rodrigues's Formula) として以下の形にも表せる。

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}L_{n}^{k}(x)&=&{\dfrac {d^{k}}{dx^{k}}}\left(e^{x}{\dfrac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n}e^{-x}\right)\right)\\&=&\displaystyle {\sum _{m=0}^{n-k}(-1)^{m+k}{\dfrac {(n!)^{2}}{m!(m+k)!(n-m-k)!}}x^{m}}\end{array}}}$

母関数は

${\displaystyle G(t,x)={\dfrac {(-1)^{k}}{(1-t)^{k+1}}}\exp \left({-{\dfrac {xt}{1-t}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}^{k}(x){\dfrac {t^{n-k}}{n!}}}$

である。

${\displaystyle k=0}$ のとき${\displaystyle L_{n}(x)}$について

${\displaystyle x{\dfrac {d}{dx}}L_{n}(x)=nL_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)}$

${\displaystyle L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)}$

という漸化式が成り立ち、後者から

${\displaystyle L_{0}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}(x)=-x+1}$

${\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}-4x+2}$

${\displaystyle L_{3}(x)=-x^{3}+9x^{2}-18x+6}$

である。

量子力学において、球対称ポテンシャルのシュレディンガー方程式（代表的なものは水素原子におけるシュレーディンガー方程式）の動径方向の解は、ラゲールの陪多項式を用いて表される。

関連項目

• スツルム＝リウヴィル型微分方程式
• 特殊関数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Laguerre Polynomial”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. “Laguerre Differential Equation”. mathworld.wolfram.com (英語).