ラミの定理

ラミの定理（ラミのていり、英語: Lami's theorem）は、静力学における定理^[1]。考案者は、フランスの数学者、神学者ベルナール・ラミ（Bernard Lamy、1640年-1715年）である。

定理

1点に作用する3つの力F₁ , F₂ , F₃ が釣り合い状態にあるならば、その大きさと作用線のなす角の間に次式が成り立つ。

${\displaystyle {\frac {F_{1}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {F_{2}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {F_{3}}{\sin \theta _{3}}}}$

ここで、θ₁ はF₂ とF₃ の成す角、θ₂ はF₃ とF₁ の成す角、θ₃ はF₁ とF₂ の成す角である。

証明

座標系を用いる証明

F₁ の向きにx 軸をとると、それぞれの力は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{1}&=(F_{1},0)\\\mathbf {F} _{2}&=(F_{2}\cos \theta _{3},F_{2}\sin \theta _{3})\\\mathbf {F} _{3}&=(F_{3}\cos \theta _{2},-F_{3}\sin \theta _{2})\\\end{aligned}}}$

これらの力が釣り合っているから、その和のy 成分を考えれば

${\displaystyle {\frac {F_{2}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {F_{3}}{\sin \theta _{3}}}}$

が成り立つ。

F₁ /sinθ₁ についても、F₂ の向きにx 軸を取り直し同様のことを考えればよい。

正弦定理を用いる証明

3つのベクトルF₁ , F₂ , F₃ を、三角形ができるよう配置しなおす。この三角形に対し正弦定理を適用すると、

${\displaystyle {\frac {F_{1}}{\sin(\pi -\theta _{1})}}={\frac {F_{2}}{\sin(\pi -\theta _{2})}}={\frac {F_{3}}{\sin(\pi -\theta _{3})}}}$

が成り立つ。sin(π-θ) = sinθであることを考えればラミの定理が成り立つ。