ランキン渦

ランキン渦またはランキンの結合渦（英: Rankine's combined vortex）とは、渦度分布の一様な中核部分と、その外側の渦なしの部分からなる渦である^[1]。日常的に水面などに見られる渦^[2]を流体力学で考察する際に、単純化された近似モデルとして使われる。

概要　

ランキン渦が考察の対象とするのは、自由表面を持つ水が鉛直軸の周りに回転している状況である。水面には大気圧 ${\displaystyle p_{\infty }}$ がかかっているとする。

また、次の仮定を行う：

• 流体は完全流体である。
• 流速は高さ ${\displaystyle z}$ 方向の成分を持たず、また ${\displaystyle z}$ に依存しない。すなわち2次元流れである。
• 外力（ここでは重力）はポテンシャルを持つ保存力である。

これを、半径 ${\displaystyle a}$ の円内に渦度 ${\displaystyle \omega }$ が一様に分布し、円外は渦なしであるものと考えると、渦の中心から半径 ${\displaystyle r}$ の位置の速度 ${\displaystyle v}$ は円周方向成分のみを持ち、

${\displaystyle v(r)={\begin{cases}{\dfrac {\omega }{2}}r,&\quad (r<a),\\{\dfrac {\omega }{2}}{\dfrac {a^{2}}{r}},&\quad (r>a)\end{cases}}}$

となる^[1]。一方、圧力 ${\displaystyle p}$ は、高さを ${\displaystyle z}$ で表すと次のように表される^[3]：

${\displaystyle p(r,z)={\begin{cases}{\dfrac {\rho }{8}}\omega ^{2}r^{2}-\rho gz,&\quad (r<a),\\{\dfrac {\rho }{8}}\omega ^{2}a^{2}\left(2-{\dfrac {a^{2}}{r^{2}}}\right)-\rho gz,&\quad (r>a)\\\end{cases}}}$

ここで ${\displaystyle \rho }$ は流体の密度、 ${\displaystyle g}$ は重力加速度である。

無限遠での水面の高さを ${\displaystyle z=0}$ とすると、自由表面の圧力 ${\displaystyle p_{\infty }}$ は ${\displaystyle z=0,r\rightarrow \infty }$ での圧力に等しいから

${\displaystyle p_{\infty }={\frac {\rho }{4}}\omega ^{2}a^{2}}$

が成り立ち、これを用いて上式を書き換えれば、

${\displaystyle p(r,z)={\begin{cases}{\dfrac {p_{\infty }}{2}}{\dfrac {r^{2}}{a^{2}}}-\rho gz,&\quad (r<a),\\{\dfrac {p_{\infty }}{2}}\left(2-{\dfrac {a^{2}}{r^{2}}}\right)-\rho gz,&\quad (r>a),\\\end{cases}}}$

と表される。

水面の形は、上式で ${\displaystyle p=p_{\infty }}$ となる高さ ${\displaystyle z}$ であるから、

${\displaystyle z|_{p=p_{\infty }}(r)={\begin{cases}-{\dfrac {p_{\infty }}{\rho g}}\left(1-{\dfrac {r^{2}}{2a^{2}}}\right),&\quad (r<a),\\-{\dfrac {p_{\infty }}{\rho g}}{\dfrac {a^{2}}{2r^{2}}},&\quad (r>a)\end{cases}}}$

と得られる。したがって水面は、渦の中では回転放物面の形を持ち、渦の外では ${\displaystyle r^{2}}$ に反比例するようなくぼみとなる。くぼみの最深点は

${\displaystyle z|_{p=p_{\infty },r=0}=-{\frac {p_{\infty }}{\rho g}}=-{\frac {\omega ^{2}a^{2}}{4g}}}$

で与えられ、渦度 ${\displaystyle \omega }$ と渦の半径 ${\displaystyle a}$ の積（＝渦の周辺での流速）の2乗に比例する。