リーマンの存在定理

数学の複素解析の分野ではリーマンの存在定理とは 現代的には コンパクトリーマン面の圏と完備複素代数曲線の圏が圏同値であるという主張だと述べることができる。

この定理は複素代数多様体の有限 位相的被覆の圏と代数多様体の有限 エタール被覆の圏が圏同値であるというGrauert–Remmertの定理の一般化として 言及されることもある。

主張

X をコンパクトリーマン面, ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{s}}$ をXの相異なる点、 ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{s}}$ を複素数とする. この時ある有理型関数 ${\displaystyle f}$ on X があって ${\displaystyle f(p_{i})=a_{i}}$ for each iを満たす.

証明

For now, see SGA 1, Expose XII, Théorème 5.1., or SGA 4, Expose XI. 4.3.

帰結

この定理には数多くの帰結 がある.

定義より X を複素代数多様体とすると, X の幾何的点xにおけるエタール基本群 は次のような射影極限である:

${\displaystyle \pi _{1}^{{\acute {e}}t}(X,x)=\varprojlim \operatorname {Aut} _{X}(Y)}$

ここで ${\displaystyle Y}$ は ${\displaystyle X}$の全ての有限ガロア被覆を渡る. リーマンの存在定理より, ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{X}(Y)=\operatorname {Aut} _{X^{an}}(Y^{an}).}$ よって, ${\displaystyle \pi _{1}^{{\acute {e}}t}(X,x)}$ 通常の位相的基本群${\displaystyle \pi _{1}(X^{an},x)}$ of X at xの副有限完備化である事がわかる.^[1]

関連記事

• 代数幾何学と解析幾何学

参考文献

Works

• Harbater, David. "Riemann’s existence theorem." The Legacy of Bernhard Riemann After 150 (2015) (ed. by L. Ji, F. Oort, S.-T. Yau), Beijing-Boston: Higher Education Press and International Press, ISBN 978-1571463180
• Ryan Patrick Catullo, Riemann Existence Theorem. A slide for the paper.
• Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)], 3, Paris: Société Mathématique de France, arXiv:math/0206203, Bibcode: 2002math......6203G, ISBN 978-2-85629-141-2, MR2017446
• M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, SGA 4, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, 1963–1964, Tomes 1 à 3, Avec la participation de N. Bourbaki, P. Deligne, B. Saint-Donat, version : c46c8b4 2018-12-20 13:39:00 +0100
• Danilov, V. I. (1996). “Cohomology of Algebraic Varieties”. Algebraic Geometry II. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 35. pp. 1–125. doi:10.1007/978-3-642-60925-1_1. ISBN 978-3-642-64607-2. https://books.google.co.jp/books?id=nDAiCQAAQBAJ&pg=PA70
• Remmert, Reinhold (1998), From Riemann surfaces to complex spaces, France, Paris: S´emin. Congr., 3, Soc. Math
• J. S. Milne (2008). Lectures on Étale Cohomology

External links

• Riemann's existence theorem (Mathoverflow)
• Finite Covers of Complex Varieties (Mathoverflow)
• Riemann's existence theorem (NcatLab)