ルジャンドル予想

ルジャンドル予想（英: Legendre's conjecture）とは、任意の自然数 n について、n² と (n + 1)² の間には必ず素数が存在するという予想である。フランスの数学者アドリアン＝マリ・ルジャンドルにより提起された。2022年現在、未解決問題となっている。

数学上の未解決問題

n2と(n+1)2の間には常に少なくとも1つの素数が存在するか

概要

ルジャンドル予想は素数の間隔に関連した予想の一つである。もし予想が正しいとすれば、素数 p と次に大きい素数までの間隔は、高々 √p のオーダーになる。スウェーデンの数学者ハラルド・クラメールは、素数の間隔がより小さく (log p)² のオーダーになると予想した。これが正しいとすれば、十分大きな n に関してルジャンドル予想が成り立つことになる。

素数定理より、n² と (n + 1)² の間に含まれる素数の個数（オンライン整数列大辞典の数列 A014085）は、${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}}$ に漸近する。これは n が大きくなるに従い増加するから、ルジャンドル予想に信憑性を与えている。

進展

1975年に陳景潤が、任意の自然数 n に対し n² と (n + 1)² の間には必ず素数か半素数が存在することを示した^[1]。

また予想と類似の結果として、イギリスの数学者アルバート・イングハムは、n が十分大きければ n³ と (n + 1)³ の間には必ず素数が存在することを示している^[2]。

他にも、十分大きな x について、区間 ${\displaystyle [x,\,x+O(x^{\frac {21}{40}})]}$ は必ず素数を含むということが証明されている^[3]。ここで O(x) はランダウのO-記法である。

計算により、4 × 10¹⁸ までの自然数に対し予想の正しさが確かめられている^[4]。もし 4 × 10¹⁸ の付近に反例があるとすれば、通常の5000万倍近い大きさの素数ギャップが存在することになる。

関連項目

• ベルトランの仮説
• リーマン予想
• アンドリカの予想