レイリーの定理

数学におけるレイリーの定理とは、1より大きい無理数が、床関数によって自然数全体を互いに素な2つの集合に分ける方法を与える定理である。

1894年に言及した^[1]物理学者レイリー卿に由来する。

得られた集合の元を小さい順に並べたものをビーティ数列と呼ぶため、ビーティの定理と呼ばれることもある。

概要

1 より大きい実数 r, s に対して、

(R1) r, s が無理数で、${\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1}$

ならば、

(R2) 床関数による表示の数列

${\displaystyle B_{r}=\{\lfloor nr\rfloor \,|\,n\in \mathbb {N} \}}$, ${\displaystyle B_{s}=\{\lfloor ns\rfloor \,|\,n\in \mathbb {N} \}}$

の項全体は、重複がなく自然数全体を取る。

（注1）集合の元に重複がないだけでなく、数列の項に重複がない。

（注2）(1 <) r < s ならば 1 < r < 2 < s である。

この定理は逆も成り立つ^[2][3]。

例

r = √2 は 1 より大きい無理数である。このとき、1/r + 1/s = 1 より s = 2 + √2 となる。このとき、数列 B_r, B_s の項を順に並べると、次の表のようになる。

r = √2 による自然数の分割

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	…
Br	1	2	4	5	7	8	9	11	12	14	15	16	18	19	21	22	24	25	26	28	…
Bs	3	6	10	13	17	20	23	27	30	34	37	40	44	47	51	54	58	61	64	68	…

証明

r > 1, s > 1 とする。(R1) と (R2) は同値となるが、それを証明するために、まず必要性・十分性のどちらの議論にも必要なことを述べておく。

N を任意の自然数とする。

${\displaystyle \lfloor nr\rfloor \leq N}$ …① を満たす自然数 n が i個、

${\displaystyle \lfloor ns\rfloor \leq N}$ …② を満たす自然数 n が j個

であるとする。

①より

${\displaystyle \lfloor ir\rfloor \leq N<\lfloor (i+1)r\rfloor }$

${\displaystyle ir<N+1\leq (i+1)r}$

${\displaystyle i<{\frac {N+1}{r}}\leq i+1}$ …③

同様に

${\displaystyle j<{\frac {N+1}{s}}\leq j+1}$ …④

③ + ④ より

${\displaystyle i+j<(N+1)\left({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}\right)\leq i+j+2}$ …⑤

（(R1) ⇒ (R2) の証明）

r, s は無理数より、③, ④の等号は成り立たない。故に⑤, 1/r + 1/s = 1 より

${\displaystyle i+j<N+1<i+j+2}$

N + 1 は整数より N + 1 = i + j + 1, ∴ N = i + j。

N の任意性より、数列 B_r, B_s の項全体は、自然数全体を重複なく取る。

（(R2) ⇒ (R1) の証明）

(R2) より N = i + j …⑥

⑤, ⑥より

${\displaystyle N<(N+1)\left({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}\right)\leq N+2}$

${\displaystyle {\frac {N}{N+1}}<{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}\leq {\frac {N+2}{N+1}}}$

N → ∞ とすると、はさみうちの原理より

${\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1}$ …⑦

r または s は有理数と仮定する。このとき⑦より r も s も有理数である。

r =: a/b, s =: c/d（a～d は自然数）とおくと、⌊bc⋅r⌋ = ⌊ad⋅s⌋ となり項が重複しないことに矛盾。

故に r, s は無理数である。■