レスターの定理

平面幾何学におけるレスターの定理（レスターのていり、Lester's theorem）は、任意の不等辺三角形において外心・九点円の中心・2つのフェルマー点の4点が同一円上にあるという定理である。

緑色の三角形のフェルマー点 ${\displaystyle X_{13},X_{14}}$、 九点円（薄い青の円）の中心 ${\displaystyle X_{5}}$、外心 ${\displaystyle X_{3}}$ はレスター円（黒い円）上にある。

この定理の名称は1997年^[1]に論文を発表したジューン・レスターに由来する。この4点を通る円は Clark Kimberling（英語）によってレスター円（Lester Circle）と命名されている^[2]。

レスターはこの定理を複素数を用いて証明しているが、のちに初等幾何学を用いた証明^[3][4][5][6]、ベクトルを用いた証明^[7]、コンピュータによる証明^[8]が発表されている。

レスター円

レスター円は、不等辺三角形の外心・九点円の中心・2つのフェルマー点の4点を通る円である。Clark Kimberling によって命名された。また、氏のサイト「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(1116)として登録されている^[9]。

中心の重心座標は、以下の式で表される。

${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}$

${\displaystyle f(a,b,c)=(b^{2}-c^{2})(2(a^{2}-b^{2})(c^{2}-a^{2})+3R^{2}(2a^{2}-b^{2}-c^{2})-a^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a^{4}+b^{4}+c^{4})}$

ここで、${\displaystyle a,b,c}$ は3辺の長さ、${\displaystyle R}$は外接円の半径である。

二等辺三角形の場合、4点が同一直線上に来るためこの円は定義できない。

拡張

Paul Yiu によれば、Bernard Gibert　は2000年にこの定理の拡張となる以下の事実を発表している^[10]。

直径の両端がキーペルト双曲線上にあり、かつその直径がオイラー線と直交する円は、2つのフェルマー点を通る。

Dao Thanh Oai は、直角双曲線を利用したさらなる一般化を発表した^[11]。

直角双曲線上に以下の点を定義する

• H と G は双曲線の同じ側にある点である。
• F₊ と F_- は、その点における双曲線の接線が HG と平行になる点である。2点は双曲線の中心に対して対称の位置にある。
• K₊ と K_- は、その点における双曲線の接線が HG 上の点 E を通る点である。

K₊K_- とHG の交点を D とし、DE の垂直二等分線と双曲線の交点を G₊, G_- とする。6点 D, E, F₊, F_-, G₊, G_- は共円である。