レゾルベント集合

数学の、線形代数や作用素論の分野における、ある線形作用素のレゾルベント集合（レゾルベントしゅうごう、英: resolvent set）とは、その作用素がある意味で行儀の良い（英語版）ものとなるための複素数からなる集合である。レゾルベント法において重要な役割を担う。

定義

X をバナッハ空間とし、${\displaystyle L\colon D(L)\rightarrow X}$ を、定義域が ${\displaystyle D(L)\subseteq X}$ であるような線形作用素とする。X 上の恒等作用素を id と表す。任意の ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ に対し

${\displaystyle L_{\lambda }=L-\lambda \mathrm {id} }$

を定める。作用素 ${\displaystyle L_{\lambda }}$ の逆作用素 ${\displaystyle R(\lambda ,L)}$ が、次の三つの条件を満たすとき、${\displaystyle \lambda }$ は正則値（regular value）と呼ばれる:

1. そのような逆 ${\displaystyle R(\lambda ,L)}$ が存在する;
2. そのような逆 ${\displaystyle R(\lambda ,L)}$ は有界線形作用素である;
3. そのような逆 ${\displaystyle R(\lambda ,L)}$ は、X において稠密な部分空間の上で定義される。

作用素 L のレゾルベント集合とは、L のすべての正則値からなる集合

${\displaystyle \rho (L)=\{\lambda \in \mathbf {C} |}$ ${\displaystyle \lambda }$ は ${\displaystyle L}$ の正則値 ${\displaystyle \}}$

である。スペクトルとは、レゾルベント集合の補集合

${\displaystyle \sigma (L)=\mathbf {C} \setminus \rho (L).}$

である。スペクトルはさらに、点スペクトル（上の条件 1 が満たされない場合）、連続スペクトル（上の条件 1 と 3 は満たされるが、2 が満たされない場合）および剰余スペクトル（上の条件 1 は満たされるが、3 は満たされない場合）の三種類に区分される。

性質

• 有界線形作用素 L のレゾルベント集合 ${\displaystyle \rho (L)\subseteq \mathbb {C} }$ は開集合である。

参考文献

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). Springer-Verlag. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0 MR2028503 (See section 8.3)

外部リンク

• Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], “Resolvent set”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press