レーマン表示

レーマン表示（英: Lehmann representation）とは、場の理論における2点グリーン関数(1粒子グリーン関数)のスペクトル表示(積分表示)のことを指す。

例

2点因果グリーン関数、2点遅延グリーン関数、2点先進グリーン関数のフーリエ変換を${\displaystyle G_{AB}^{\mp }(\omega ),G_{AB}^{R\mp }(\omega ),G_{AB}^{A\mp }(\omega )}$とすると、次のようなレーマン表示が成り立つ^[1]。

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{AB}^{\mp }(\omega )&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigg [}{\frac {1}{\omega -\omega '+i\eta }}\mp {\frac {e^{-\beta \hbar \omega '}}{\omega -\omega '-i\eta }}{\Bigg ]}S_{AB}(\omega ')d\omega '\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigg [}{\frac {1}{\omega -\omega '+i\eta }}\mp {\frac {e^{-\beta \hbar \omega '}}{\omega -\omega '-i\eta }}{\Bigg ]}(1\mp e^{-\beta \hbar \omega '})^{-1}\rho _{AB}^{\pm }(\omega ')d\omega '\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigg [}{\rm {P}}{\frac {1}{\omega -\omega '}}-i\pi {\Bigg \{}\tanh {\Big (}{\frac {\beta \hbar \omega '}{2}}{\Big )}{\Bigg \}}^{\mp 1}\delta (\omega -\omega '){\Bigg ]}\rho _{AB}^{\pm }(\omega ')d\omega '\end{aligned}}}$

${\displaystyle G_{AB}^{R\mp }(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\rho _{AB}^{\pm }(\omega ')}{\omega -\omega '+i\eta }}d\omega '}$

${\displaystyle G_{AB}^{A\mp }(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\rho _{AB}^{\pm }(\omega ')}{\omega -\omega '-i\eta }}d\omega '}$

ここで${\displaystyle S_{AB}(\omega )}$は${\displaystyle S_{AB}(t,t')=\langle A(t)B(t')\rangle }$のフーリエ変換である。${\displaystyle \rho _{AB}^{\pm }(\omega )}$は${\displaystyle \rho _{AB}^{\pm }(t,t')=\langle [A(t),B(t')]_{\mp }\rangle }$のフーリエ変換であり、スペクトル関数と呼ばれる。