レーマーの予想

τ(n) が 0 とならないことについてのレーマーの予想については「ラマヌジャンのタウ函数」をご覧ください。

オイラーのトーシェント函数についてのレーマーの予想については「Lehmer's totient problem（英語版）」をご覧ください。

レーマーの予想 (Lehmer's conjecture)、レーマーのマーラー測度の問題(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、デリック・ヘンリー・レーマー（英語版）(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である^[1]。この予想は、ある絶対的な定数 ${\displaystyle \mu >1}$ が存在して、すべての整数係数の多項式 ${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。

• ${\displaystyle P(x)}$ のマーラー測度 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))}$ は ${\displaystyle \mu }$ より大きいかまたは等しい。

• ${\displaystyle P(x)}$ は、円分多項式もしくは単項式 ${\displaystyle x}$ の積の整数倍である。この場合は ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1}$ である。（同じことであるが、${\displaystyle P(x)}$ のすべての根は 1 のべき根かまたは 0 である。）

マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式 ${\displaystyle P(x)}$ を ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 上分解して

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})}$

とし、

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|)}$

と定義するものがある。

知られている中で最も小さな（1 よりも大きい）マーラー測度は、レーマーの多項式

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1}$

のマーラー測度であり、これはサレム数(Salem number)^[2]

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1.176280818\dots }$

である。

この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想の ${\displaystyle \mu =1.176280818\dots }$ であると広く信じられている^[3][4]。

動機

一変数のマーラー測度を考える。イエンセンの公式は、${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})}$ であれば、

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|)}$

であることを示している。（このパラグラフを通して、${\displaystyle m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))}$ と表すことにする。これもマーラー測度と呼ばれる。）

このことは、${\displaystyle P}$ が整数係数の多項式であれば、${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$ が 1 以上の代数的数であり、従って、${\displaystyle m(P)\geq 0}$ は代数的整数の対数であることを示している。また、もし ${\displaystyle m(P)=0}$ であれば、${\displaystyle P}$ は、円分多項式、つまり、すべての根が 1 のべき根であるようなモニック多項式と、${\displaystyle x}$ の単項式、つまり、ある ${\displaystyle n}$ に対してべき ${\displaystyle x^{n}}$ の積となることも示している。

レーマー(Lehmer)は、モニック多項式 ${\displaystyle P}$ に対する整数列 ${\displaystyle \Delta _{n}={\text{Res}}(P(x),x^{n}-1)=\prod _{i=1}^{D}(\alpha _{i}^{n}-1)}$ の研究の中で、${\displaystyle m(P)=0}$ が重要な数値であることに気づいた^[1][5]。もし ${\displaystyle P}$ が円の上で 0 とならない場合は ${\displaystyle \lim |\Delta _{n}|^{1/n}={\mathcal {M}}(P)}$ であることは明らかであるが、円の上で 0 になる場合でさえも、このステートメントが成立するのではないだろうか。これにより、彼は次の問いに至った。

${\displaystyle P}$ が非円分的なとき、${\displaystyle m(P)>c}$ となるような定数 ${\displaystyle c>0}$ が存在するかどうか？

あるいは、

${\displaystyle c>0}$ が与えられた場合、${\displaystyle 0<m(P)<c}$ となる整数係数の ${\displaystyle P}$ が存在するかどうか？

以下に見るように、いくつかの肯定的な答えが知られているが、しかし、レーマー予想は完全に証明されてはおらず、多くの興味深い問いが残っている。

部分的結果

${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ を次数 ${\displaystyle D}$ の既約モニック多項式とする。スミス ^[6] は、自己相反多項式でない、つまり、

${\displaystyle x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)}$

であるすべての多項式に対し、レーマーの予想は正しいことを証明した。

ブランクスビー(Blanksby)とヒュー・モンゴメリー(Montgomery)は、^[7] で、ステワート(Stewart)^[8]とは独立に、絶対的な定数 ${\displaystyle C>1}$ が存在し、${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1}$ かまたは、:${\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq {\frac {C}{D\log D}}}$ を満たすことを証明した^[9]。

ドブロウォルスキー(Dobrowolski) ^[10] はこの結果を改善し

${\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq C\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}}$

とした。彼は、 C ≥ 1/1200 を得て、十分大きな D に対し漸近的に C > 1-ε も得ている。ボウティエール D ≥ 2 に対し C ≥ 1/4 を得ている^[11]。

楕円の類似

${\displaystyle E/K}$ を数体 ${\displaystyle K}$ で定義された楕円曲線とし、${\displaystyle {\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R} }$ を標準的高さ（ネロン・テイトの高さ(Néron–Tate height)とも言う）函数とする。標準的高さは、函数 ${\displaystyle (\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))}$ の楕円曲線の類似である。この高さについては、${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)=0}$ であることと、${\displaystyle Q}$ が ${\displaystyle E({\bar {K}})}$ の中で捩れ点(torsion point)であることとは同値である。楕円レーマー予想(elliptic Lehmer conjecture)は、定数 ${\displaystyle C(E/K)>0}$ が存在し、すべての捩れのない点 ${\displaystyle Q\in E({\bar {K}})}$ に対して、

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}}$

となるという予想である。ここに ${\displaystyle D=[K(Q):K]}$ とする。楕円曲線 E が虚数乗法を持つとドブロウォルスキーの結果の類似は、ローラン(Laurent)のおかげで、

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}}$

となる^[12]。任意の楕円曲線に対し、知られている最も良い結果^[12]は、ダヴィッド・マッサー(David Masser)による

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{3}(\log D)^{2}}}}$

という結果である^[13]。非整数の j-不変量を持つ楕円曲線に対しては、これが改善されて^[12]、ヒンドリー(Hindry)とジョゼフ・シルバーマン（英語版）(Joseph H. Silverman)による

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{2}(\log D)^{2}}}}$

という結果がある^[14]。

制限付きの結果

より強い結果が、多項式や代数的数に制限をつけた場合に得られている。

P(x) が相反ではないとき、

${\displaystyle M(P)\geq M(x^{3}-x-1)\approx 1.3247}$

となり、これは明らかに最良の場合である^[15]。さらに、P の係数がすべて奇数であれば^[16]、

${\displaystyle M(P)\geq M(x^{2}-x-1)\approx 1.618}$

となる。

αを任意の代数的数とするとき、体 Q(α) が Qのガロア拡大であれば、αの最小多項式に関しレーマー予想が成り立つ^[16]。