ヴェイユ予想

「ヴェイユ予想」のその他の用法については「ヴェイユ予想 (曖昧さ回避)」をご覧ください。

ヴェイユ予想（ヴェイユよそう、英: Weil conjectures）とは、数学者のアンドレ・ヴェイユが1949年に発表した^[1]、非特異代数多様体上の合同ゼータ関数におけるリーマン予想の類似である（下の(3)がリーマン予想の類似）。アレクサンドル・グロタンディークを経てピエール・ルネ・ドリーニュにより1974年に解決された。

ヴェイユ予想

(1) 有理数多項式:${\displaystyle P_{0}(t)P_{1}(t),...,P_{2n}(t)}$が存在して

${\displaystyle \zeta (X,t)={P_{1}(t)P_{3}(t)...P_{2n-1}(t) \over P_{0}(t)P_{2}(t)...P_{2n}(t)}}$

そして${\displaystyle P_{i}(t)}$の次数はi次元ベッチ数${\displaystyle b_{i}}$に等しい。

(2)

${\displaystyle \zeta (X,{1 \over q^{n}t})=\pm (qt^{2})^{{\chi \over 2}(X)}\zeta (X,t)}$

ここで${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+...+b_{2n}}$

(3)

${\displaystyle P_{i}(t)=\prod _{j=1}^{b_{i}}(1-{\alpha }_{ij}t)}$

と因数分解したとき

${\displaystyle |{\alpha }_{ij}|=q^{i \over 2}}$

が成立する。

(1)はバーナード・ドゥワーク（英語版）によって^[2]、(2)はグロタンディークによって^[3]、(3)はドリーニュによって^[4]証明された。