ヴォイタ予想

数学では、ヴォイタ予想(Vojta's conjecture)は、ポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により導入された、代数体上の代数多様体の点の高さについての予想である。予想は、ディオファントス近似と複素解析のネヴァンリンナ理論(Nevanlinna theory)（値分布論）の間の類似を動機としていた。ヴォイタ予想は、多くのディオファントス近似論やディオファントス方程式、数論幾何、ロジックの予想を含んでいる。

予想の記述

${\displaystyle F}$ を数体とし、${\displaystyle X/F}$ 非特異代数多様体、${\displaystyle D}$ を ${\displaystyle X}$ 上の悪くとも正規交叉を持つ有効な因子、${\displaystyle H}$ を ${\displaystyle X}$ の上の豊富な因子、${\displaystyle K_{X}}$ を ${\displaystyle X}$ の標準因子とする。${\displaystyle h_{H}}$ と ${\displaystyle h_{K_{X}}}$ をヴェイユの高さ函数を選び、${\displaystyle F}$ 上の各々の絶対値 ${\displaystyle v}$ に対し、局所高さ函数を ${\displaystyle \lambda _{D,v}}$ とする。${\displaystyle F}$ の絶対値 ${\displaystyle S}$ の有限集合を固定し、${\displaystyle \epsilon >0}$ とすると、上記の選択に依存しない定数 ${\displaystyle C}$ と空でないザリスキー開集合 ${\displaystyle U\subseteq X}$ が存在し、全ての ${\displaystyle P\in U(F)}$ に対し、

${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+h_{K_{X}}(P)\leq \epsilon h_{H}(P)+C}$

を満たす。

例

１、 ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{N}}$ とすると、${\displaystyle K_{X}\sim -(N+1)H}$ であるので、ヴォイタ予想からは、すべての${\displaystyle P\in U(F)}$ に対し、

${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C}$

であることが分かる。

２、 ${\displaystyle X}$ を、例えば、K3曲面やカラビ・ヤウ多様体のような自明な標準バンドルを持つ多様体とすると、ヴォイタ予想は、${\displaystyle D}$ を有効な豊富な正規交叉の因子とすると、アフィン多様体 ${\displaystyle X\setminus D}$ 上の ${\displaystyle S}$-整な点は、ザリスキー稠密ではないことを予言する。

３、 ${\displaystyle X}$ を一般型の多様体、つまり、${\displaystyle K_{X}}$ が ${\displaystyle X}$ のある空ではないザリスキー開集合上で豊富であるとすると、${\displaystyle S=\emptyset }$ に対し、ヴォイタ予想は、${\displaystyle X(F)}$ は ${\displaystyle X}$ 上のザリスキー稠密でないことを予言する。この一般型多様体の命題は、ボンビエリ・ラング予想（英語版）(Bombieri-Lang conjecture)である。

一般化

${\displaystyle P}$ が ${\displaystyle X({\overline {F}})}$ の上で変化するような一般化が存在し、体の拡大 ${\displaystyle F(P)/F}$ の判別式とは独立な上限を持つ項が加わる。

非アルキメデス的な局所的高さ ${\displaystyle \lambda _{D,v}}$ が消去された局所的高さと置き換わる一般化が存在する。この高さでは、多重度を無視することが可能である。これらのヴォイタ予想には、ABC予想の自然な高次元類似をもたらすバージョンもある。

参考文献

• Vojta, Paul (1987), Diophantine approximations and value distribution theory, Lecture Notes in Mathematics, 1239, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0072989, ISBN 978-3-540-17551-3, MR883451