全単射

数学において、全単射（英: bijection、または双射）とは、二つの集合間の関数であり、第二の集合（終域）の各要素が、第一の集合（定義域）のちょうど一つの要素の像となるものである。同様に、全単射とは二つの集合間の関係であり、いずれかの集合の各要素が、他方の集合のちょうど一つの要素と対になるものである。

関数が全単射であるとは、その関数が**逆関数**を持つことを意味する。すなわち、関数 ${\displaystyle f:X\to Y}$ が全単射であるのは、fの逆関数である関数 ${\displaystyle g:Y\to X}$ が存在し、かつ、次の関数を合成する二つの方法において、それぞれ恒等関数が得られるときである： （Xの任意の x に対して）${\displaystyle g(f(x))=x}$ が成り立つ。また、（Yの任意の y に対して）${\displaystyle f(g(y))=y}$ が成立する。

例えば、2倍する操作は、整数の集合から偶数の集合への全単射を定義し、その逆関数は2で割る操作である。

定義

ある関数が全単射であるための必要十分条件は、それが単射であること、すなわち終域の各要素が定義域の多くても一つの要素から写像されていること、そして全射であること、すなわち終域の各要素が定義域の少なくとも一つの要素から写像されていることの両方を満たすことである。

つまり、写像 f: A → B に対し、2つの条件

1. 全射性: f(A) = B
2. 単射性: 任意の A の元 a₁, a₂ について、f(a₁) = f(a₂) ならば a₁ = a₂

がともに成り立つとき、写像 f は全単射 (bijective) であるという。この用語はブルバキによる。

f: A → B が全単射であることは、

${\displaystyle \forall \ b\in B,\,\exists \$ !\ a\in A{\text{ s.t. }}b=f(a)}

が成り立つことと等価である。実際、全射と単射の定義を合わせれば、全射の定義における存在記号 ${\displaystyle \exists }$ を唯一存在記号 ${\displaystyle \exists \$ !} に置き換えればよいことがすぐに分かる。

全射でも単射でもない	単射であり全射でない
全射であり単射でない	全単射

例

• f: R → (0, ∞); f(x) := e^x は全単射である。

• f: (0, ∞) → R; f(x) := log x は全単射である。

• f: (−π/2, π/2) → R; f(x) := tan x は全単射である。

存在の例

• 冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ から R への全単射が存在する．
• N, Z, Q, P の間の全単射が存在する．ここで P は素数の全体である．
• R, C の間の全単射が存在する．また，a < b に対する閉区間 [a, b], 半開区間 (a, b], [a, b), 開区間 (a, b) や無限区間と R の間の全単射が存在する．

性質

• 全単射は逆写像を持つ。実際、f: A → B が全単射であれば、B の任意の元 b に対し、f の全射性から f(a) = b となる a が存在するが、f の単射性からこのような a は b に対してただ一つしかないので、写像 g: B → A; f(a) ↦ a が作れる。逆に、逆写像を持つ写像は全単射に限るので、写像が全単射であることと逆写像を持つことは同値である。言い換えると、f: A → B が全単射であることと、g: B → A が存在して ${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{A}}$ かつ ${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{B}}$ となることは同値である。
• 2つの写像 f: A → B, g: B → C の合成写像 ${\displaystyle g\circ f\colon A\to C}$ が全単射ならば f は単射で、g は全射である。
• 2つの全単射が合成できるならば、その合成写像も全単射である。
  • 集合 X 上の全単射全体の成す集合を S_X とすると、S_X は写像の合成に関して群を成す。これを X 上の置換群あるいは対称群と呼ぶ。
• 集合全体のつくるクラス (類) において、「2つの集合の間に全単射が存在する」 という関係は同値関係を定める。この同値関係により集合全体の成すクラスを類別して濃度の概念が定義される。すなわち、集合間で全単射が定義可能な場合、それらの集合は基数が等しい。
• X, Y が同数の元を持つ有限集合の場合、写像 f: X → Y について、以下は同値である:

1. f は全単射である。
2. f は全射である。
3. f は単射である。

関連項目

• 全射
• 単射
• 関数 (数学)
• MECE