一般ディリクレ級数

一般ディリクレ級数（いっぱんでぃりくれきゅうすう、英: general Dirichlet series）とは、

複素数列 ${\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$、無限大に発散する狭義の単調増加列 ${\displaystyle \scriptstyle \{\lambda _{n}\}_{n\geq 0}}$ および複素数 s に対して、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。

特に、${\displaystyle \lambda _{n}=\log n}$ のとき、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

であり、(通常)ディリクレ級数となる。

また、${\displaystyle \lambda _{n}=n}$、${\displaystyle z=e^{-s}}$ とすると、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

と、ベキ級数になる。

s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。

収束性

収束軸

任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。

1. 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。
2. 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。
3. 一般ディリクレ級数が ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{c}}$ を満たす複素数 s に対して収束し、${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{c}}$ を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}$ が存在する。

この ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}$ を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。 収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは ${\displaystyle \scriptstyle -\infty }$、常に発散する場合は ${\displaystyle \scriptstyle +\infty }$ と定める。

収束軸の値の求め方

一般ディリクレ級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

の収束軸 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}$ の値は、以下の様に求められる。

• ${\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ が発散する場合

  ${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |s(n)|}{\lambda _{n}}}}$ 。

• ${\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ が収束する場合

  ${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}+a_{n+1}+\cdots |}{\lambda _{n}}}}$ 。

また、

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!a_{n}\right|}$

という式も知られている。

絶対収束性

一般の級数のときと同じく、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|e^{-\lambda _{n}s}}$

が収束するとき、一般ディリクレ級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

は絶対収束するという。

絶対収束する複素数 s に対する、${\displaystyle \operatorname {Re} \ s}$ の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。 絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは ${\displaystyle \scriptstyle -\infty }$、常に絶対収束しない場合は ${\displaystyle \scriptstyle +\infty }$ と定める。

ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。

例えば

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}e^{-s\log \log n}}$

は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。

一般に、収束軸が有限の値 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}$ を持ち、

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}}$

が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}}$ は有限の値を持ち、${\displaystyle \scriptstyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{a}\leq \alpha }$ ^[1]であることが知られている。

絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。

一般ディリクレ級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

の絶対収束軸 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}}$ の値は、以下の様に求められる。

• ${\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|}$ が発散する場合

  ${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log s(n)}{\log n}}}$ 。

• ${\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|}$ が収束する場合

  ${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n}|+|a_{n+1}|+\cdots )}{\log n}}}$ 。

また、

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left(\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!|a_{n}|\right)}$

が成り立つ。

一様収束性

一般ディリクレ級数を

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

として、s を変数とする関数とみなすと、${\displaystyle f(s)}$ の一様収束性が問題となる。

一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}$ および絶対収束軸 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}}$ が有限の値であるならば、 このとき、

${\displaystyle \sigma _{c}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}}$ ^[2]

を満たす実数 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}}$ が存在して、${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{u}}$ を満たす複素数 s に対して、${\displaystyle f(s)}$ は一様収束するが、${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{u}}$ を満たす複素数 s に対して、${\displaystyle f(s)}$ は一様収束しない。　

この ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}}$ を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。 一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは ${\displaystyle \scriptstyle -\infty }$、常に一様収束しない場合は ${\displaystyle \scriptstyle +\infty }$ と定める。

一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。

ディリクレ級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

の一様収束軸 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}}$ の値は、以下の様に求められる。

${\displaystyle \sigma _{u}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {\log T_{x}}{\log x}}}$ 。

ここで、

${\displaystyle T_{x}=\!\!\!\!\sup _{-\infty <y<\infty }\left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!a_{n}e^{-i\lambda _{n}y}\right|}$ 。

解析的性質

正則性

一般ディリクレ級数

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

は、${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma }$ で収束するならば、${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma }$ で正則である。さらに、${\displaystyle f(s)}$ の微分は

${\displaystyle f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}^{k}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

で与えられる。

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma }$ で正則である様な σ の下限を ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{r}}$ とおくと。

${\displaystyle \sigma _{r}=\sup _{-\infty <y<+\infty }\limsup _{x\to -\infty }(\log \log ^{+}|\varphi (x+iy)|+x)}$ 。

但し、

${\displaystyle \varphi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}e^{-\lambda _{n}z}/\Gamma (1+\lambda _{n})),\ \ \ \log ^{+}z=\max(\log z,\ 0)}$ 。

一般ディリクレ級数の一意性

2つのディリクレ級数

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},\ \ \ \ \ g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

が、ある開領域内で収束し、そこで、${\displaystyle f(s)=g(s)}$ が成立するならば、すべての n に対して、${\displaystyle a_{n}=b_{n}}$ である。

一般ディリクレ級数の係数

収束軸 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}$ が有限の値もしくは ${\displaystyle \scriptstyle -\infty }$である、一般ディリクレ級数

${\displaystyle f(s)=\sum _{n\leq x}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

に対して、ω を ${\displaystyle \scriptstyle \lambda _{n}<\omega <\lambda _{n+1}}$ を満たす様にとり、${\displaystyle \scriptstyle c>\max(\sigma _{c},\ 0)}$ とする。このとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+\infty }a_{n}{\frac {e^{\omega z}}{z}}dz}$

が成立する。但し、積分路は、すべての ${\displaystyle \lambda _{k}}$ を通らない様にとる。

さらに、${\displaystyle \scriptstyle x>\sigma _{c}}$ であるならば、

${\displaystyle a_{n}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{x}^{x+T}\!\!f(x+iy)e^{\lambda _{n}(x+iy)}dy}$ 。

一般ディリクレ級数の零点の個数

ε、 δ、T を任意の正数とする。

収束軸 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}$ が有限の値である一般ディリクレ級数

${\displaystyle f(s)=\sum _{n\leq x}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$

に対して、${\displaystyle \scriptstyle \sigma \geq \sigma _{c}+\varepsilon ,\ T<t<T+2\delta \log T}$ を満たす複素数 ${\displaystyle s=\sigma +it}$ のうち、${\displaystyle f(s)=0}$ を満たすものの個数を ${\displaystyle N(T)}$ とおくと、 ${\displaystyle N(T)}$ は有限の値であり、

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }{\frac {N(T)}{\log ^{2}T}}\leq {\frac {\delta }{\varepsilon }}}$

が成立する。