中心二項係数

数学における中心二項係数（ちゅうしんにこうけいすう、英: Central binomial coefficient）は、n番目の中心二項係数を

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {2^{n}(2n-1)!!}{n!}}\qquad (n\geq 0)}$

とする。パスカルの三角形の奇数行の真ん中にあるため、中心二項係数と呼ばれる。

${\displaystyle {\underline {1}}}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\underline {2}}}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle {\underline {6}}}$

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 5}$

${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 5}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 6}$

${\displaystyle 15}$

${\displaystyle {\underline {20}}}$

${\displaystyle 15}$

${\displaystyle 6}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 7}$

${\displaystyle 21}$

${\displaystyle 35}$

${\displaystyle 35}$

${\displaystyle 21}$

${\displaystyle 7}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 8}$

${\displaystyle 28}$

${\displaystyle 56}$

${\displaystyle {\underline {70}}}$

${\displaystyle 56}$

${\displaystyle 28}$

${\displaystyle 8}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 9}$

${\displaystyle 36}$

${\displaystyle 84}$

${\displaystyle 126}$

${\displaystyle 126}$

${\displaystyle 84}$

${\displaystyle 36}$

${\displaystyle 9}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 45}$

${\displaystyle 120}$

${\displaystyle 210}$

${\displaystyle {\underline {252}}}$

${\displaystyle 210}$

${\displaystyle 120}$

${\displaystyle 45}$

${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 1}$

中心二項係数の n ≧ 0 の値は

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112, …（オンライン整数列大辞典の数列 A000984）

パスカル行列では、対角線に沿って表示される。

${\displaystyle A_{10,10}={\begin{bmatrix}{\underline {1}}&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&{\underline {2}}&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&3&{\underline {6}}&10&15&21&28&36&45&55\\1&4&10&{\underline {20}}&35&56&84&120&165&220\\1&5&15&35&{\underline {70}}&126&210&330&495&715\\1&6&21&56&126&{\underline {252}}&462&792&1287&2002\\1&7&28&84&210&462&{\underline {924}}&1716&3003&5005\\1&8&36&120&330&792&1716&{\underline {3432}}&6435&11440\\1&9&45&165&495&1287&3003&6435&{\underline {12870}}&24310\\1&10&55&220&715&2002&5005&11440&24310&{\underline {48620}}\end{bmatrix}},}$

性質

属関数は中心二項係数に適用される。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}$

ウォリス積は、中心二項係数の漸近形式で記述できる。

${\displaystyle {2n \choose n}=2^{2n}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\quad (n\rightarrow \infty )}$

最後の式は、スターリングの公式を使用して簡単に導出できる。一方、比較によるスターリング公式は、定数を決定するために使用できる。

単純な境界は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n},\qquad (n\geq 1)\!\,.}$

より良い境界は次のとおり:

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}},\qquad (n\geq 1)\!\,,}$

そして、さらに高い精度が必要な場合：

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)\!\,,}$

${\displaystyle {\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}},\qquad (n\geq 1)\!\,.}$

奇数の中心二項係数は 1 だけである。^[1]

関連する数

n番目のカタラン数を C_n とすると

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={\frac {(2n)!}{n!\;(n+1)!}},\qquad (n\geq 0)\!\,.}$

中心二項係数の簡単な一般化は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\operatorname {\mathrm {B} } (n+1,n)}}\!\,,}$

n は実数で、ここで ${\displaystyle \Gamma (x)\,}$はガンマ関数、${\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)\,}$はベータ関数である。

その他の性質

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}=4^{n}}$

${\displaystyle \textstyle {\binom {2n}{n}}}$はパスカルの三角形のn番目の行の2乗の合計になる。

${\displaystyle {2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}}$