久保公式

時間依存しないハミルトニアン ${\hat {H}}_{0}$ で記述される量子系を考える。物理量 ${\hat {A}}$ の期待値は次のように表される。

{\begin{aligned}\langle {\hat {A}}\rangle &={\frac {1}{Z_{0}}}\operatorname {Tr} [{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}]={\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}\\{\hat {\rho _{0}}}&=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}\end{aligned}}

ここで $Z_{0}=Tr[\rho _{0}]$ は分配関数である。平衡状態にあった系に、時刻 $t=t_{0}$ に外部摂動が働いたと仮定する。摂動は時間依存ハミルトニアン ${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0})$ で記述される。密度行列 ${\hat {\rho }}(t)$ と ${\hat {A}}(t)$ の期待値の時間発展は次のように表される。

{\begin{aligned}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &={\frac {1}{Z_{0}}}\operatorname {Tr} [{\hat {\rho }}(t){\hat {A}}]={\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}\langle n(t)|{\hat {A}}|n(t)\rangle e^{-\beta E_{n}}\\{\hat {\rho (t)}}&=\sum _{n}|n(t)\rangle \langle n(t)|e^{-\beta E_{n}}\end{aligned}}

状態 $|n(t)\rangle$ の時間発展はシュレーディンガー方程式 $i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle$ によって支配されている。 ${\hat {V}}(t)$ は小さい摂動と見なせるので、相互作用描像 $|{\hat {n}}(t)\rangle$ を用いるのが便利である。相互作用描像での時間発展は次のように書ける

{\begin{aligned}|n(t)\rangle &=e^{i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle \\|{\hat {n}}(t_{0})\rangle &=e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle \end{aligned}}

${\hat {V}}(t)$ の線形次数においては、 ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$ である。よって線形次数で摂動による期待値 ${\hat {A}}(t)$ を得る。

{\begin{aligned}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{aligned}}

ここで括弧 $\langle \rangle _{0}$ は熱平衡状態 ${\hat {H}}_{0}$ での平均値を表す。

一般的な久保公式

関連項目

外部リンク

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