乗数・加速度モデル

乗数・加速度モデル（じょうすうかそくどモデル、英: Multiplier–accelerator model）とは、景気循環を説明するモデルである。ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデルとも呼ばれる。ポール・サミュエルソン（Samuelson, P.A. (1939)）が発表し、J. R. ヒックス（Hicks, J.R. (1950)）が発展させた。発展させたものはサミュエルソン＝ヒックスの乗数・加速度モデルと呼ばれる。

概要

乗数・加速度モデルは乗数原理と加速度原理を合わせ、景気循環を説明しようというものである。以下はサミュエルソンによる乗数・加速度モデルである^[1][2]。

${\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}}$

(1)

${\displaystyle C_{t}=C+cY_{t-1}}$

(2)

${\displaystyle I_{t}=I+v(Y_{t-1}-Y_{t-2})}$

(3)

ただし、

• ${\displaystyle Y}$： GDP
• ${\displaystyle C}$： ${\displaystyle C_{t}}$はt期の消費。${\displaystyle C}$は基礎消費。
• ${\displaystyle I}$： ${\displaystyle I_{t}}$はt期の投資。${\displaystyle I}$は独立投資。
• ${\displaystyle c}$： 消費性向
• ${\displaystyle t}$： t期(時間)
• ${\displaystyle v}$： 加速度係数

をそれぞれ指す。

ここで、(1)${\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}}$はt期の国民所得${\displaystyle Y_{t}}$が消費されるか投資されるかのいずれかであることを示している。(2)${\displaystyle C_{t}=C+cY_{t-1}}$はt期の消費${\displaystyle C_{t}}$がどのように決定されるかを示している。(3)${\displaystyle I_{t}=I+v(Y_{t-1}-Y_{t-2})}$はt期の投資${\displaystyle I_{t}}$がどのように決定されるかを示している。(3)式は加速度原理を表している^[3]。

(1)、(2)を(3)に代入すると、

${\displaystyle Y_{t}=(c+v)Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)}$

(4)

という2階差分方程式を得る。これを(4)式とする。

${\displaystyle A\equiv C+I}$

とおいて、(4)式を整理すると、

${\displaystyle Y_{t}-(c+v)Y_{t-1}+vY_{t-2}-A=0}$

(4')

(4')式の不動点を求めると、

${\displaystyle Y^{*}={\frac {A}{1-c}}}$

(5)

これを(5)式とする。

(4')式の特性方程式は、

${\displaystyle \lambda ^{2}-(c+v)\lambda +v=0}$

(6)

この特性方程式を(6)式とする。(6)式の判別式をDとすると

${\displaystyle D=(c+v)^{2}-4v}$

よって、${\displaystyle (c+v)^{2}-4v}$が正のとき実根が存在し、負のとき複素根が存在する。 (6)式の特性根は

${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}={\frac {(c+v)\pm {\sqrt {(c+v)^{2}-4v}}}{2}}}$

このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が実根の場合、時間とともに単調に発散するか、単調に不動点に収束することになる。このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が複素根の場合、変動が存在する。 複素根が存在するとして、これらの複素根を

${\displaystyle \alpha +i\beta ,\alpha -i\beta }$

と置く。さらに、特性根の絶対値を${\displaystyle \rho ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}$とすると、

• ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\beta }{\alpha }}}$
• ${\displaystyle \alpha =\rho \cos \theta }$
• ${\displaystyle \beta =\rho \sin \theta }$

となる。これらの式から、

${\displaystyle \lambda _{1}=\rho (\cos \theta +\sin \theta )}$

${\displaystyle \lambda _{2}=\rho (\cos \theta -\sin \theta )}$

同次部分の一般解を求めると、

${\displaystyle a_{1}\lambda _{1}^{t}+a_{2}\lambda _{2}^{t}=2k\rho ^{t}\cos(t\theta +\varepsilon )}$

(6)式の特性根の式から、

${\displaystyle \alpha ={\frac {c+v}{2}}}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\sqrt {4v-(c+v)^{2}}}{2}}}$

なので、

${\displaystyle \rho ={\sqrt {v}}}$

となる。このとき、${\displaystyle v<1}$ならば解の軌道は時間とともに振動しながら不動点に収束し、${\displaystyle v>1}$ならば解の軌道は時間とともに振動しながら発散する^[4]。

このサミュエルソンの乗数・加速度モデルの特性方程式が複素根を持つ場合に対して、J. R. ヒックスは床と天井の概念を導入した^[4]。