乗法的関数

この項目では、数論的函数について説明しています。その他の函数の乗法性については「劣乗法的函数」をご覧ください。

数論における乗法的関数（じょうほうてきかんすう、英: multiplicative function）とは、正の整数 n の数論的関数 f(n) であって、f(1) = 1 であり、a と b が互いに素であるならば常に

f(ab) = f(a) f(b)

が成り立つことである。さらに、f(n) が、任意のa と b に対しても、f(ab) = f(a) f(b) を成立させる時、完全乗法的関数（英語: completely multiplicative function）と呼ぶ^[1]。

例

• gcd(n,k): nとkの最大公約数（k を固定して、n の関数とみなした場合）
• 任意の整数 k に対する ${\displaystyle n^{k}}$
• メビウス関数: ${\displaystyle \mu (n)}$
  • ${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r}&{\text{(if }}n{\text{ is square-free and a product of distinct }}r{\text{ prime numbers)}}\\0&({\text{otherwise}})\end{cases}}}$
• 約数関数: n の約数の個数を表す ${\displaystyle d(n)}$
  • ${\displaystyle d(n)=\sum _{d|n,\ d>0}\!\!\!\!1}$
• k乗約数和関数: ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$
  • ${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d|n,\ d>0}\!\!\!\!d^{k}}$
• n の正の奇数の約数の個数を表す ${\displaystyle \tau _{o}(n)}$
  • ${\displaystyle \tau _{o}(n)=\sum _{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!1}$
• n の正の奇数の約数の和を表す ${\displaystyle \sigma _{o}(n)}$
  • ${\displaystyle \sigma _{o}(n)=\sum _{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!d}$
• オイラー関数: ${\displaystyle \varphi (n)}$
  • ${\displaystyle \varphi (n)=\#\{k\mid 1\leq k\leq n,\ (k,n)=1\}}$
• ディリクレ指標: ${\displaystyle \chi (n)}$
• リウヴィルのラムダ関数: ${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$（ただし、${\displaystyle \Omega (n)}$はn の素因数の重複も含めた総数）
• ラマヌジャンの和関数:

${\displaystyle c_{q}(n)=\!\!\sum _{1\leq h\leq q,\ (h,q)=1}\!\!\!\!\!\!\!\!\!e^{2\pi ihn/q}}$

• ラマヌジャンの τ 関数: ${\displaystyle \tau (n)}$
  • ${\displaystyle \tau (n)}$ は、${\displaystyle q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}}$ の n 次の係数
• 任意の正整数 k に対する、${\displaystyle k^{\omega (n)}}$（ただし、${\displaystyle \omega (n)}$はn の異なる素因数の総数）