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ゴッパ符号
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ゴッパ符号(ゴッパふごう、英: Goppa code)または代数幾何符号(だいすうきかふごう、英: algebraic geometric code)は、有限体 上の代数曲線 X を使って構築される線型符号である。V. D. Goppa が考案した。場合によっては、興味深い極値特性(extremal property)を示すことがある。
ゴッパ符号は、 上で定義された非特異の代数多様体 X のいくつかの有理点
- P1, P2, ..., Pn
を使って構築でき、X 上の因子 G は とは互いに素な有理点からのみ得られる。リーマン=ロッホの定理によれば、因子 G に対応して、一意な有限次元のベクトル空間 が存在する。このベクトル空間は の関数空間の部分空間である。
このような情報を使って構築されるゴッパ符号には、2種類のものが存在する。
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関数型符号
要約
視点
曲線 X、因子 G、有理点群 から構築される関数型符号は以下の通りである。
上の L(G) の固定基底
- f1, f2, ..., fk
について、対応する 内のゴッパ符号は、
- (fi(P1), fi(P2), ..., fi(Pn))
というベクトルによって 上に分布する。等価的に
の像としても定義され、ここで f は で定義される。
上記で定義された を使って因子を とする。通常ゴッパ符号は C(D,G) と記述される。
次に、C 上の因子 D と符号のパラメータの関係を示す。l(D) という記法は L(D) の次元を意味する。
命題 ゴッパ符号 C(D,G) の次元は
であり、2つの符号語間の最小ハミング距離は
である。
証明
なので、次が成り立つことを示さなければならない。
と仮定する。すると なので、 である。従って である。逆に と仮定する。すると
なので
である(G は で問題を解かないので、代わりに f でそれをする必要がある)。従って
となる。 を示すため、 のハミング重みを d とする。これはつまり、 個の (例えば )について であることを意味する。従って であり、
である。
であることに着目して両辺の次数をとると
が得られる。従って
である。Q.E.D.
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留数型符号
留数型符号は関数型符号の双対として定義されるか、 における何らかの関数の留数として定義される。
応用
暗号理論において、ゴッパ符号はマックエリス暗号で使われている。
一般にゴッパ符号は性質の良い線型符号と見なされ、
の誤りを訂正可能である。また復号も簡単で、ユークリッドの互除法とベールカンプ=マッシー法を使えばよい。
関連図書
- Henning Stichtenoth、新妻弘(訳):「代数関数体と符号理論」、共立出版、ISBN 978-4-320-11045-8 (2013年8月25日).
外部リンク
- 水野弘文「代数幾何符号の歩み (符号と暗号の代数的数理)」『数理解析研究所講究録』第1361巻、京都大学数理解析研究所、2004年4月、143-151頁、CRID 1050282677085218432、hdl:2433/25267、ISSN 1880-2818。
- An undergraduate thesis on Algebraic Geometric Coding Theory
- 上原剛「代数幾何符号に関する研究」(PDF)『数式処理』第9巻第2号、日本数式処理学会、2002年、32-41頁、CRID 1520572358731480448、ISSN 09191410。
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