代用電荷法

代用電荷法（だいようでんかほう、英: charge simulation method）または電荷重畳法は数値解析手法の一つである。基本解近似解法（英: method of fundamental solutions）ともいう。構造力学や電界計算の分野で広く使われている。偏微分方程式に対するメッシュフリー法であり、有限個の基本解を境界条件が満たされるように重ね合わせて近似解を構成する。誤差が境界で最大値に達する性質があり、誤差評価を容易にしている。原理が簡単で、プログラムが容易、高速、高精度であるが、非線型問題には適用できない。1969年に西ドイツのSteinbiglerが高電圧工学の問題に応用したのが最初で^[要検証]、その後日本で大きく研究が進んだ。宅間董により種々の電界計算に応用され、村島定行により汎用の解析法として確立された。

導入

例として、ディリクレ境界条件の2次元ラプラス方程式 $${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u({\boldsymbol {x}})=0&({\boldsymbol {x}}\in \Omega ),\\u({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})&({\boldsymbol {x}}\in \partial \Omega )\end{cases}}}$$ に代用電荷法を適用する。ただし、Ωはℝ²上の有界な単連結領域とする。

代用電荷法は解を基本解の重ね合わせ（線型結合）で近似する。2次元ラプラス方程式であれば対数ポテンシャル $${\displaystyle G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {s}})=-{\frac {1}{2\pi }}\log \left|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {s}}\right|}$$ を重ね合わせて $${\displaystyle u({\boldsymbol {x}})\approx u_{N}({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{N}Q_{i}G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {s}}_{i})}$$ とすることが多い。式中のs_iは電荷点（charge point）と呼ばれ、Ωの外部から適当に選ばれる。

Q_iの値は選点法により決定される。すなわち、境界∂Ωから拘束点（collocation point）と呼ばれる点x_k（1 ≤ k ≤ N）を適当に選び、これらの点において近似解が拘束条件 $${\displaystyle u_{N}({\boldsymbol {x}}_{k})=f({\boldsymbol {x}}_{k})\quad (k=1,2,\dotsc ,N)}$$ を満たすようにする。このとき、Q_iは線型方程式系 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}G({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {s}}_{1})&G({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {s}}_{2})&\cdots &G({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {s}}_{N})\\G({\boldsymbol {x}}_{2},{\boldsymbol {s}}_{1})&G({\boldsymbol {x}}_{2},{\boldsymbol {s}}_{2})&\cdots &G({\boldsymbol {x}}_{2},{\boldsymbol {s}}_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\G({\boldsymbol {x}}_{N},{\boldsymbol {s}}_{1})&G({\boldsymbol {x}}_{N},{\boldsymbol {s}}_{2})&\cdots &G({\boldsymbol {x}}_{N},{\boldsymbol {s}}_{N})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\\\vdots \\Q_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f({\boldsymbol {x}}_{1})\\f({\boldsymbol {x}}_{2})\\\vdots \\f({\boldsymbol {x}}_{N})\end{pmatrix}}}$$ の解となる。

代用電荷法の特徴として、境界における誤差で内部における誤差を評価できることが挙げられる。問題の解u(x)が存在し、さらにu(x)が閉包cl(Ω)において連続ならば、調和関数の最大値原理から誤差に関する等式 $${\displaystyle \max _{{\boldsymbol {x}}\in \operatorname {cl} (\Omega )}\left|u({\boldsymbol {x}})-u_{N}({\boldsymbol {x}})\right|=\max _{{\boldsymbol {x}}\in \partial \Omega }\left|f({\boldsymbol {x}})-u_{N}({\boldsymbol {x}})\right|}$$ が成立する^[1][2]。

変種

室田の不変スキーム

室田の不変スキームは、対数ポテンシャルの線型結合に定数項Q₀を加えた近似解 $${\displaystyle u_{N}({\boldsymbol {x}})=Q_{0}-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=1}^{N}Q_{i}\log \left|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {s}}_{i}\right|}$$ を、拘束条件に $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}Q_{i}=0}$$ という制約を追加して構成する手法である^[3]。

ラプラス方程式の解は座標系のスケール変換x → axと境界条件の平行移動f(x) → f(x) + cに対して不変だが、通常の代用電荷法で構成される近似解は不変にならない。室田の不変スキームで構成される近似解は、この不変性を満たす点に特徴がある。