作用・角変数

作用・角変数 (さよう・かくへんすう, action-angle variable) とは、解析力学において可積分な正準力学系に対して導入される、作用変数と角変数の組からなる正準変数のこと。

定義

可積分系

${\displaystyle n}$自由度の自励正準力学系がLiouvilleの意味で可積分であるとは、${\displaystyle n}$個の関数的に独立^{[注釈 1]}な孤立積分 ${\displaystyle F_{i}}$ (${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n}$) が存在し、互いにPoisson可換であること、すなわち

${\displaystyle \left[F_{i},F_{j}\right]=0}$

を満足することである^[1][2]。このとき、リウヴィル＝アーノルドの定理は、各積分 ${\displaystyle F_{i}}$ が値 ${\displaystyle f_{i}}$ を取る超曲面 ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}F_{i}^{-1}(f_{i})}$ が連結かつコンパクトであるならば、この曲面はトーラス ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ と同相であること（Arnoldトーラスと呼ばれる）、そしてArnoldトーラスを含む近傍で定義された正準変数 ${\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})}$ が存在しハミルトニアン ${\displaystyle H}$ が ${\displaystyle \mathbf {J} }$ だけの関数になることを主張する^[1][3]。この定理により保証される正準変数 ${\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})}$ が作用・角変数である^[1][3]。

変数分離系

変数分離可能 (separable) な系に関しては、作用・角変数をより明示的に導入することができる。このような系では、適切な正準変数 ${\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}$ を用いると、ハミルトンの特性関数 ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }})}$ を ${\displaystyle S=S_{1}(q_{1},\mathbf {\alpha } )+S_{2}(q_{2},{\boldsymbol {\alpha }})+\cdots +S_{n}(q_{n},{\boldsymbol {\alpha }})}$ という形に書くことができる^[4]。積分定数 ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$ の値が特定されると、各座標 ${\displaystyle q_{i}}$ が周期運動をするならば、その運動のパターンは次の二通りが可能である^[5][6]。

• ある有界な範囲を周期的に運動する秤動 (libration)
• 運動量が座標の周期関数となる回転 (rotaion)

このとき、定数 ${\displaystyle \mathbf {\alpha } }$ により定まる解軌道に沿った一周期に関する次の積分

${\displaystyle J_{i}:={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}\,dq_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint {\frac {\partial S_{i}}{\partial q_{i}}}(q_{i},{\boldsymbol {\alpha }})dq_{i}}$

により作用変数 (action variable) ${\displaystyle J_{i}=J_{i}({\boldsymbol {\alpha }})}$ が定義できる^{[7][8][9][10][注釈 2]}。この定義のもとでハミルトンの特性関数は ${\displaystyle S=S(\mathbf {q} ,\mathbf {J} )}$ という関数に読み替えることができ、この特性関数を母関数とする正準変換 ${\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\mapsto (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})}$ により角変数 (angle variable)

${\displaystyle \theta _{i}:={\frac {\partial S}{\partial J_{i}}}}$

が導入される^[7][8][11]。角変数 ${\displaystyle \theta _{i}}$ は運動の一周期の間に ${\displaystyle 2\pi }$ 変化する^[9][11]。

性質

Kronecker軌道

作用・角変数 ${\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})}$ を用いるとき、系のハミルトニアンは ${\displaystyle H=H(\mathbf {J} )}$ であるため、正準方程式は

${\displaystyle {\frac {dJ_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \theta _{i}}}=0,\ \ {\frac {d\theta _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial J_{i}}}=:\omega _{i}(\mathbf {J} )}$

となる。従ってその解はただちに

${\displaystyle J_{i}=\mathrm {Const.} ,\ \ \theta _{i}=\omega _{i}(\mathbf {J} )t+\beta _{i}}$

と求まる (${\displaystyle \beta _{i}}$ は定数)。従って ${\displaystyle \omega _{i}={\frac {\partial H}{\partial J_{i}}}}$ は運動の角振動数である。この解がArnoldトーラス上に描く軌道をKronecker軌道と呼ぶ^[3]。

振動数 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\cdots ,\omega _{n})}$ がすべて互いに有理数比にある場合には、解軌道 ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\omega }}t+{\boldsymbol {\beta }}}$ はArnoldトーラス上の周期軌道となる^[12]。一方、そうでない場合には、解軌道はArnoldトーラスを稠密に埋め尽くし、準周期軌道 (qusi-periodic orbit) または条件周期軌道 (conditionally periodic orbit) と呼ばれる^[12]。

正準摂動論

可積分ハミルトニアン ${\displaystyle H_{0}}$ に摂動 ${\displaystyle \epsilon H_{1}}$ が加わったハミルトニアン

${\displaystyle H=H_{0}(\mathbf {J} )+\epsilon H_{1}(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})}$

を取り扱うことはしばしばある。このような近可積分系に対して適用される正準摂動論は作用・角変数に立脚して定式化される。これは、非摂動ハミルトニアン ${\displaystyle H_{0}}$ に関する作用・角変数 ${\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})}$ から摂動後のハミルトニアンに関する作用・角変数 ${\displaystyle (\mathbf {J} ^{*},{\boldsymbol {\theta }}^{*})}$ への正準変換 ${\displaystyle S=S({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {J} ^{*})}$ を摂動的に決定するというアイデアに基づいている^[13][14]。

断熱不変量

作用変数 ${\displaystyle J}$ は、ハミルトニアンの断熱的な（運動の時間スケールに比べてゆっくりとした）変化に際して保存する断熱不変量になる^[15]。

→詳細は「断熱不変量」を参照

具体例

調和振動子

1次元調和振動子は次のハミルトニアンにより記述される。

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}q^{2}}$

この系はエネルギー ${\displaystyle E}$ が保存するため可積分であり、ハミルトンの特性関数 ${\displaystyle S}$ はエネルギーを積分定数とする

${\displaystyle S=\int \pm {\sqrt {2mE-m^{2}\omega _{0}^{2}q^{2}}}\,dq}$

という形に求まる。ここから調和振動子の作用・角変数は ${\displaystyle J=E/\omega _{0}}$, ${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\sqrt {\frac {m\omega _{0}}{2J}}}q\right)}$ と計算できる^[16]。

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {2J}{m\omega _{0}}}}\,\sin \theta ,\ \ p={\sqrt {2m\omega _{0}J}}\,\cos \theta }$

${\displaystyle H=\omega _{0}J}$

ケプラー問題

3次元ケプラー問題のハミルトニアンは、球座標 ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ を用いるとき変数分離系となる。

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}p_{\theta }^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}p_{\phi }^{2}\right)-{\frac {\mu }{r}}}$

対応するハミルトンの特性関数は次式で与えられる。

${\displaystyle S=\int \pm {\sqrt {2C+{\frac {2\mu }{r}}-{\frac {G^{2}}{r^{2}}}}}dr+\int \pm {\sqrt {G^{2}-{\frac {G_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}}}d\theta +G_{z}\phi }$

系のエネルギーが負であるときには運動は有界であり、作用・角変数 ${\displaystyle (J_{r},J_{\theta },J_{\phi },w_{r},w_{\theta },w_{\phi })}$ は次のように求められる^[17]。

${\displaystyle J_{r}={\sqrt {\mu a}}\left[1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right],\ \ J_{\theta }={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}\,(1-\cos I),\ \ J_{\phi }={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}\,\cos I}$

${\displaystyle w_{r}=M,\ \ w_{\theta }=M+\omega ,\ \ w_{\phi }=M+\omega +\Omega }$

ここに ${\displaystyle a}$ は軌道長半径、${\displaystyle e}$ は軌道離心率、${\displaystyle I}$ は軌道傾斜角、${\displaystyle M}$ は平均近点離角、${\displaystyle \omega }$ は近点引数、${\displaystyle \Omega }$ は昇交点黄経である。このときハミルトニアンは ${\displaystyle H=-{\frac {\mu ^{2}}{2(J_{r}+J_{\theta }+J_{\phi })^{2}}}}$ と表示される。なお、天体力学において用いられるドローニー変数やポアンカレ変数は、この作用・角変数に対して接触変換を施すことで得られる正準変数である^[18]。