分散関係

分散関係（ぶんさんかんけい、英: dispersion relation^[1]）は、波において、角周波数（角振動数）と波数の間の関係。特に角周波数 ω を波数 k の関数で表した式のことを言う。量子力学においては、波動関数の波数は粒子の運動量に、周波数はエネルギーに相当するので、運動量とエネルギーの間の関係式を粒子の分散関係と呼ぶことも多い。

概要

任意の波動はフーリエ変換により「特定の波数 k のみを持つ単色波 e^{i(kx − ωt)} の集まり」に分解できる。このとき、波数 k と角周波数 ω が、系の性質に応じて満たす関係

${\displaystyle \omega =\omega (k)\,}$

を、分散関係 (dispersion relation)、または分散式 (dispersion formula) という。波数と角周波数の対応関係が複数存在する場合もあり、それぞれの関係を波のモードと呼ぶことがある。

ここで「分散」とは波が伝わるときに波形が変化することをいう。

波動の性質を示すいくつかの重要な指標が分散関係から導かれる。

また、量子力学においてはエネルギーと周波数は比例する（${\displaystyle E=\hbar \omega }$）ため、系のエネルギー固有値と波数の関係$${\displaystyle E=E(k)}$$も分散関係と呼ばれる。

分散の有無

波数と角周波数が比例関係にない場合、成分ごとに位相速度が異なるため伝播の際に波形の変化を伴う。その系は分散的もしくは分散系であるという。

一方、波数と角周波数が比例関係

${\displaystyle \omega =vk\,}$

で表されるとき、分散はない。

分散がない任意の波において、波を構成する各成分は

${\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}=e^{ik(x-vt)}\,}$

となり、すべての成分が波数に依らず一定速度 v で進むため、それらによって構成される波は波形を変えずに伝播する。たとえば、室温の空気を伝わる音波はほとんど分散がないため、ある人が発した声はほとんど波形を変えずに聞き手の耳に届く。

位相速度と群速度

波の位相部分が一定 kx − ωt = φ_o で伝わる速度 v_p は、これを時間で微分して、

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {dx}{dt}}={\frac {\omega }{k}}}$

で与えられる。これを位相速度という。また、一方で様々な波数を持つ波の集まりである波束において、その群速度は、

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }={\frac {d\omega (k)}{dk}}}$

で与えられる。

分散がない場合には、

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }=v,\quad v_{\mathrm {g} }=v\,}$

であるから、「分散がない」という条件は「位相速度と群速度が一致する」ことと等価である。

通常の波動方程式

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

に従う波動現象においては、e^{i(kx − ωt)} を考えると、

${\displaystyle \omega =ck\,}$

の関係が満たされており、分散がない波となる。

光学における分散

→詳細は「分散 (光学)」を参照

自然光などの白色光をプリズムに通すと、透過した光は虹のように各色ごとに分光される。この現象は光学においては分散と呼ばれる。これは、白色光が角振動数の異なる電磁場から構成されており、媒質となるプリズム中においてそれぞれの屈折率 n が角振動数 ω によって異なることに起因する。このとき、媒質中を伝播する電磁波の位相速度は、角振動数に依存する屈折率 n(ω) と真空中の光速 c を用いて、

${\displaystyle c(\omega )={\frac {c}{n(\omega )}}\,}$

と表される。このとき、対応する分散関係は

${\displaystyle \omega =c(\omega )k\,}$

となる。分散関係という語は、光学におけるこの分散現象に由来する。

例

水面波

深さが h である水の層において、重力と表面張力を考慮した水面波の分散関係は以下を満たす^[2]。

${\displaystyle \omega =|k|{\sqrt {{\biggl (}{\frac {g}{k}}+{\frac {\sigma k}{\rho }}{\biggr )}\tanh {kh}}}}$

ここで、g は重力加速度、σ は表面張力の強さ、ρ は水の密度である。

フォノン

固体におけるフォノンのモデルとして、2 種類の原子から構成される一次元の格子の振動を考える。このとき、この格子系の周期を 2a とし、2つの原子の質量を m₁, m₂、結合の定数を f とすると、分散関係は

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {f}{m_{\mu }}}\left(1\pm {\sqrt {1-{\frac {4m_{\mu }^{\,2}}{m_{1}m_{2}}}\sin ^{2}{ka}}}\right),\quad {\frac {1}{m_{\mu }}}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}$

となる^[3][4]。符号が − の場合が音響モードに対応し、+ の場合が光学モードに相当する。特に |q| → 0 としたときの長波長極限において、音響モードでは、

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {2f}{m_{1}+m_{2}}}}a|k|}$

光学モードでは

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {2f}{m_{\mu }}}}={\sqrt {\frac {2(m_{1}+m_{2})f}{m_{1}m_{2}}}}}$

となる。

相対論的な電子

相対論な場の量子論において、電子はディラック方程式で記述される。このとき、電子は以下の分散関係を満たす^[5]。

${\displaystyle \omega ={\sqrt {(ck)^{2}+{\biggl (}{\frac {mc^{2}}{\hbar }}{\biggr )}^{2}}}}$

ここで、m は電子質量、c は光速である。