判別分析

判別分析（はんべつぶんせき、英: discriminant analysis）は、事前に与えられているデータが異なるグループに分かれる場合、新しいデータが得られた際に、どちらのグループに入るのかを判別するための基準（判別関数^{[注釈 1]}）を得るための正規分布を前提とした分類の手法。英語では線形判別分析^{[注釈 2]}をLDA、二次判別分析^{[注釈 3]}をQDA、混合判別分析^{[注釈 4]}をMDAと略す。1936年にロナルド・フィッシャーが線形判別分析を発表し^[1][2]、1996年に Trevor Hastie, Robert Tibshirani が混合判別分析を発表した^[3]。

3つ以上のグループの判別は重判別分析^{[注釈 5]}や正準判別分析と呼ばれる。

判別関数の種類

判別関数には以下の物などがある。

線形判別関数^{[注釈 6]}

超平面・直線による判別。線形判別分析は等分散性が必要。

二次判別関数^{[注釈 7]}

楕円など二次関数による判別。二次判別分析は等分散性が不要。

非線形判別関数^{[注釈 8]}

超曲面・曲線などの非線形判別関数。

前提条件

線形判別分析は、以下の前提条件が成立する必要がある。

• 各グループは多変量正規分布^{[注釈 9]}している
• 全てのグループが同じ共分散行列を持つ（等分散性）

その上で、マハラノビス汎距離^{[注釈 10]}が等距離の所に直線を引く。これらの前提条件が成立しないとおかしな結果になる。

各グループの平均が異なる以上、分散が異なることは多々ある。等分散性の仮定を外した物が二次判別分析である。それぞれのグループで異なる共分散行列を使用してマハラノビス距離を計算して、等距離になる場所を判別曲面とする方法である。この方法は二次関数となり、正規分布が成立している場合は正しい結果になる。

線形判別分析において、グループ間の確率のロジットは線形関数となるが、ここで線形関数という仮定を残したまま、正規分布や等分散性の仮定を外すとロジスティック回帰や単純パーセプトロンになる^[4]。

さらに別な方法としては、線形判別関数を使用したい場合は、線形サポートベクターマシンで線形判別関数を求めるという方法もある。

線形判別分析

線形判別関数は以下の通り。これの正負で判断。${\displaystyle x}$ は入力、${\displaystyle \mu }$ は平均、${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ は共分散行列^{[注釈 11]}。この式は多変量正規分布の式より導出できる。

${\displaystyle \left(x-{\frac {\mu _{\rm {first}}+\mu _{\rm {second}}}{2}}\right)^{T}\mathbf {\Sigma } ^{-1}(\mu _{\rm {first}}-\mu _{\rm {second}})}$

より細かく、線形判別関数 (${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+a_{0}}$) の求め方を以下に示す。

1. 第一群、第二群についてそれぞれ積和を求める(N はサンプルサイズ)。

   ${\displaystyle W_{ij}=\sum _{k=1}^{N}(x_{i}^{(k)}-{\overline {x}}_{i})(x_{j}^{(k)}-{\overline {x}}_{j})}$

2. 第一群と第二群の平方和・積和を、同じ2変数について足し、自由度 ${\displaystyle N_{\rm {first}}+N_{\rm {second}}-2}$ で除す。

   ${\displaystyle S_{ij}={\frac {W_{ij}{\rm {(first)}}+W_{ij}{\rm {(second)}}}{N_{\rm {first}}+N_{\rm {second}}-2}}}$

3. ${\displaystyle S_{ij}}$ を、その ${\displaystyle i}$行${\displaystyle j}$列に対応させて分散共分散行列${\displaystyle {\mathbf {S} }}$とし、各変数にかかる係数を${\displaystyle n}$行${\displaystyle 1}$列に並べた行列を${\displaystyle {\mathbf {A} }}$、第一群の各変数の平均値から第二群の各変数を引いた数 ${\displaystyle x_{i}{\rm {(first)}}-x_{i}{\rm {(second)}}}$を${\displaystyle n}$行${\displaystyle 1}$列に並べた行列を${\displaystyle {\mathbf {X} }}$とすると以下の式が成り立つ。

   ${\displaystyle {\mathbf {S} }{\mathbf {A} }={\mathbf {X} }}$ ゆえに ${\displaystyle {\mathbf {A} }={\mathbf {S} }^{-1}{\mathbf {X} }}$

4. これにより各変数にかかる係数を求めることができる。

   定数項は、${\displaystyle a_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\left\{x_{i}{\rm {(firstaverage)}}+x_{i}{\rm {(secondaverage)}}\right\}}$

5. 判別得点${\displaystyle y}$が正のとき第一群、負のとき第二群と判別される。

   変数が標準化されていれば、係数の大きさは、そのままその変数が判別に与える影響の大きさである。

   変数が定性的な場合は、ダミー変数を用いる。

   ${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\rm {(first)}}x_{i}{\rm {(first)}}+a_{i}{\rm {(second)}}x_{i}{\rm {(second)}}\right)+a_{0}}$

   ここに、${\displaystyle x_{ij}}$: ${\displaystyle x_{i}}$の${\displaystyle j}$番目のカテゴリーに反応するとき${\displaystyle 1}$、しないとき${\displaystyle 0}$。

二次判別分析

グループの平均を中心に回転・軸方向のスケーリングを行い共分散行列を揃え、線形判別分析を行えば良い。

混合判別分析

単一の正規分布ではなく、混合正規分布で表現した物を混合判別分析という。その場合でも共分散行列は共通の物を使う。混合正規分布を使うことにより複雑な分布も扱えるようになる。混合正規分布はEMアルゴリズムなどで求める。

注釈

1. 英: discriminant function
2. 英: linear discriminant analysis
3. 英: quadratic discriminant analysis
4. 英: mixture discriminant analysis
5. 英: multiple discriminant analysis
6. 英: linear discriminant function
7. 英: quadratic discriminant function
8. 英: nonlinear discriminant function
9. 英: multivariate normal distribution
10. 英: Mahalanobis' generalized distance
11. この文脈中には総和を表すシグマ記号「${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}}$」もあるが、それとは異なるので注意。