区分行列

区分行列（くぶんぎょうれつ）もしくはブロック行列 (block matrix) とは、いくつかの長方形のブロックに「区分け」された行列である。

区分け

例えば、4つの行列

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&5\\-1&4&1\\8&1&-2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}-3&6\\1&3\\4&1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-4&2&6\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}9&1\end{bmatrix}}}$

を並べてできる 4 × 5 行列

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1&5&&-3&6\\-1&4&1&&1&3\\8&1&-2&&4&1\\&&&&&\\-4&2&6&&9&1\end{bmatrix}}}$

を、A, B, C, D をブロックとする区分行列と呼ぶ。ブロックは小行列とも呼ばれる。行列をブロックに分けることを区分けという。

一般の区分けでは、行や列をそれぞれいくつに分割してもよい。A_ij たちをブロックとする区分行列

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$

が区分けの一般的な形である。ただし、同じ行にあるブロックの行数は等しくなければならず、同じ列にあるブロックの列数は等しくなければならない。A_{i j} が m_i × n_j 行列である場合、この形の区分けを (m₁, …, m_q; n₁, …, n_r) 型と呼ぶ。

区分行列の積

ふたつの区分行列

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1r}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{q1}&B_{q2}&\cdots &B_{qr}\end{bmatrix}}}$

の区分けがそれぞれ (l₁, …, l_p; m₁, …, m_q) 型、(m₁, …, m_q; n₁, …, n_r) 型であるとき、その積 AB の (l₁, …, l_p; n₁, …, n_r) 型の区分け

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1r}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{p1}&C_{p2}&\cdots &C_{pr}\end{bmatrix}}}$

の各ブロックは

${\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}}$

で与えられる。すなわち、区分行列の積は（適切に区分けされていれば）各ブロックをあたかも行列の成分のように見なして計算できる。

対称区分け

正方行列 P の区分け

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1r}\\A_{21}&A_{22}&\dots &A_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{r1}&A_{r2}&\dots &A_{rr}\end{bmatrix}}}$

において、主対角線上のブロック A_{1 1}, A_{2 2}, … A_{r r} がすべて正方行列であるとき、これを対称区分けという。特に、主対角線より下のブロックが全て零行列である場合、その行列式について

${\displaystyle |P|=\prod _{k=1}^{r}|A_{kk}|}$

が成り立つ。よって、そのような P が正則であるための必要十分条件は、主対角線上のブロックが全て正則であることである。

2 × 2 の区分行列の逆行列

本節では、A は正則行列、D は正方行列とし、区分行列

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

の逆行列を与える。

まず、行列式について、

${\displaystyle |P|=|A||D-CA^{-1}B|\,}$

が成り立つ。よって、P が正則であるための必要十分条件は、D − CA⁻¹B も正則であることであり、このとき逆行列は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}}$

で与えられる。D も正則な場合は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}}$

と表される。さらに C が零行列 O に等しい場合は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\O&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}BD^{-1}\\O&D^{-1}\end{bmatrix}}}$

となる。

参考文献

• 『数学入門辞典』岩波書店、2005年、ISBN 978-4000802093