単純環

Simple algebraについては「単純多元環」をご覧ください。

数学の環論において、（1 ≠ 0 を持つ可換とは限らない）環 R が単純（たんじゅん、英: simple）であるとは、R の両側イデアルが 0 と R しか存在しないことをいう^[1]。

構造定理

単純環は左アルティン的であれば右アルティン的でもあるため、このとき単にアルティン的単純環という^[2]。（さらにネーター的でもある。）単純アルティン環は、アルティン・ウェダーバーンの定理により、可除環上の全行列環に同型である。

より詳しくは、次が成り立つ^[3]。単純環 R について以下は同値：

• R は左アルティン的
• R は半単純
• R は極小左イデアルを持つ
• R はある自然数 n とある可除環 D について M_n(D) と同型

R を一般の単純環とすると、任意の 0 でない左イデアル I に対し、D を自己準同型環 End(_RI) （右から作用すると考える）とすると、R と End(I_D) は自然に同型である（後者は左からの作用を考える）。