双1次曲面

双1次曲面（そういちじきょくめん）とは、4つの制御点から作成される曲面である。CAD/CGでは形状の定義,FEMなどのシュミューレーションでは値の積分や補間などに使用される。

Bilinear surface

一般式1

曲面${\displaystyle S}$は，${\displaystyle u}$,${\displaystyle v}$の2つのパラメータで定義される。曲面${\displaystyle S}$上の点は，以下の式で表現される。

${\displaystyle S(u,v)=(1-u)(1-v)P_{0}+u(1-v)P_{1}+(1-u)vP_{3}+uvP_{2}}$

パラメータ${\displaystyle u}$,${\displaystyle v}$の範囲は，以下の通り。定義した4点の面内の任意の場所は，このパラメータ定義域内で表現できる。

${\displaystyle 0\leqq u\leqq 1,0\leqq v\leqq 1}$

偏微分

${\displaystyle u}$方向および${\displaystyle v}$方向の偏微分は,以下の通り。

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial u}}=(v-1)P_{0}+(1-v)P_{1}+(-v)P_{2}+(v)P_{3}}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial v}}=(u-1)P_{0}+(-u)P_{1}+(1-u)P_{2}+(u)P_{3}}$

点の射影

Projecting point on a surface

任意の点${\displaystyle P}$を双1次曲面上に射影するには,任意点${\displaystyle P}$の曲面上の距離が最小になる点を選択する。一般に次式を2変数のニュートン法を使用して解き，双1次曲面上のu,vの値を得る。

${\displaystyle F(u,v)=|S(u,v)-P|^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial u}}={\frac {\partial S}{\partial u}}\cdot {(S(u,v)-P)}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial v}}={\frac {\partial S}{\partial v}}\cdot {(S(u,v)-P)}=0}$

一般式2

FEMなどのシュミューレーションでは，CADやCGとパラメータの定義域が異なることが多いが,一般式1と同じ結果が得られる。

${\displaystyle S(u,v)=N_{0}P_{0}+N_{1}P_{1}+N_{2}P_{2}+N_{3}P_{3}}$

${\displaystyle N_{0}={1 \over 4}(1-u)(1-v)}$

${\displaystyle N_{1}={1 \over 4}(1+u)(1-v)}$

${\displaystyle N_{2}={1 \over 4}(1+u)(1+v)}$

${\displaystyle N_{3}={1 \over 4}(1-u)(1+v)}$

パラメータ${\displaystyle u}$,${\displaystyle v}$の範囲は，以下の通り。

${\displaystyle -1\leqq u\leqq 1,-1\leqq v\leqq 1}$

偏微分

${\displaystyle u}$方向および${\displaystyle v}$方向の偏微分は,以下の通り。

${\displaystyle {\frac {\partial N_{0}}{\partial u}}=-{1 \over 4}(1-v)}$

${\displaystyle {\frac {\partial N_{1}}{\partial u}}={1 \over 4}(1-v)}$

${\displaystyle {\frac {\partial N_{2}}{\partial u}}={1 \over 4}(1+v)}$

${\displaystyle {\frac {\partial N_{3}}{\partial u}}=-{1 \over 4}(1+v)}$

${\displaystyle {\frac {\partial N_{0}}{\partial v}}=-{1 \over 4}(1-u)}$

${\displaystyle {\frac {\partial N_{1}}{\partial v}}=-{1 \over 4}(1+u)}$

${\displaystyle {\frac {\partial N_{2}}{\partial v}}={1 \over 4}(1+u)}$

${\displaystyle {\frac {\partial N_{3}}{\partial v}}={1 \over 4}(1-u)}$

外部リンク

• 2変数のニュートン法.

関連項目

• 曲面