変位演算子

量子光学における1つのモードの変位演算子（へんいえんざんし）とは、次のようなシフト演算子である。

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {a}}\right)}$

ここで${\displaystyle \alpha }$は光学位相空間（英語版）での変位の大きさ、${\displaystyle \alpha ^{*}}$はその変位の複素共役、${\displaystyle {\hat {a}}}$と${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$は生成消滅演算子である。 この名前は位相空間での局在状態を大きさ${\displaystyle \alpha }$だけ変位できることに由来する。 また真空状態に作用することでコヒーレント状態に変位させる。

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$

${\displaystyle |\alpha \rangle }$はコヒーレント状態で、消滅演算子の固有状態である。

性質

変位演算子はユニタリー演算子であり、次に従う。

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {D}}(\alpha )={\hat {1}}}$

変位演算子のエルミート共役は逆の大きさ(${\displaystyle -\alpha }$)の変位である。

${\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}(-\alpha )}$

生成消滅演算子に変位演算子による相似変換をすると、生成消滅演算子が変位される。

${\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}(\alpha )={\hat {a}}+\alpha }$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {a}}-\alpha }$

2つの変位演算子の積も変位演算子である。位相因子は別として、2つの個々の変位を足し合わせたトータルの変位を行う。

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}{\hat {D}}(\alpha +\beta )}$

これはベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式（英語版）を使うと証明できる（${\displaystyle e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{\beta {\hat {a}}^{\dagger }-\beta ^{*}{\hat {a}}}=e^{(\alpha +\beta ){\hat {a}}^{\dagger }-(\beta ^{*}+\alpha ^{*}){\hat {a}}}e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}}$）。これが固有ケットに作用すると位相因子${\displaystyle e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}}$が現れるが、これは物理的には意味がない。^[1]

別の表現

変位演算子を表す2つの方法がある。それぞれ、

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}}$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{+{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}}$

多重モードの変位

変位演算子は、多重モードの変位に一般化できる。 多重モードの生成演算子は次のように定義される。

${\displaystyle {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }=\int d\mathbf {k} \psi (\mathbf {k} ){\hat {a}}^{\dagger }(\mathbf {k} )}$

ここで${\displaystyle \mathbf {k} }$は波数ベクトルであり、大きさは振動数${\displaystyle \omega _{\mathbf {k} }}$とつながっている。

${\displaystyle |\mathbf {k} |=\omega _{\mathbf {k} }/c}$

この定義を使うと、多重モード変位演算子は次のように書ける。

${\displaystyle {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {A}}_{\psi }\right)}$

また多重モードのコヒーレント状態は次のように定義できる。

${\displaystyle |\alpha _{\psi }\rangle \equiv {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )|0\rangle }$