外延性の公理

外延性の公理（がいえんせいのこうり、英: axiom of extensionality）は、ZF公理系を構成する公理の一つで、「全く同じ要素からなる2つの集合は等しい」ことを主張するものである。

定義

x, y を任意の集合とするとき、x=yは『任意の集合 z について、「zがxの元である」と「zがyの元である」が同値である』と同値である。すなわち、

${\displaystyle \forall x\forall y(x=y\leftrightarrow \forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y))}$

性質

外延性の公理から、以下の等号公理の一部が導かれる。^[1]

${\displaystyle \forall x(x=x)}$

${\displaystyle \forall x\forall y(x=y\rightarrow y=x)}$

${\displaystyle \forall x\forall y\forall z(x=y\wedge y=z\rightarrow x=z)}$

${\displaystyle \forall x\forall y\forall z(x=y\wedge z\in x\rightarrow z\in y)}$

ただし、＝と∈に関する以下の公理は別途必要である。^[2]

${\displaystyle \forall x\forall y\forall z(x=y\rightarrow (x\in z\leftrightarrow y\in z))}$

他の公理との関係

空集合の公理、対の公理、和集合の公理、冪集合公理で存在が主張される集合はそれぞれ、外延性の公理により一意に定まる。