多項係数

数学における多項係数（たこうけいすう、英: Multinomial coefficient）は二項係数を一般化したものである。

パスカルの三角錐を5段目まで描いたもの。側面（橙色の格子）は何れもパスカルの三角形になっている。矢印は、1つ上の段から和を取ることを表している。

定義

非負整数列 k₁, k₂, …, k_r および n = k₁ + k₂ + … + k_r に対して、多項係数が定義される。

多項係数を直接表示すると

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{r}}}:={\frac {n!}{k_{1}!\dotsm k_{r}!}}}$

となる。ここに x! は x の階乗を表す。

多項係数は帰納的に表すこともできる：

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\cdots ,k_{r}}}:={\binom {n-1}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{r}}}+\cdots +{\binom {n-1}{k_{1},\cdots ,k_{r-1},k_{r}-1}}}$

多項係数は整数となる。したがって、多項係数を規則的に並べていくと r-単体となる（パスカルの単体。r = 3 のときについてはパスカルの三角錐（英語版）を参照）。

多項係数は二項係数を用いて

${\displaystyle {\binom {k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{r}}{k_{r}}}{\binom {k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{r-1}}{k_{r-1}}}\cdots {\binom {k_{1}}{k_{1}}}=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}{\dbinom {\sum \limits _{s=1}^{i}k_{s}}{k_{i}}}}$

と表すこともできる。

応用と解釈

多項定理

→詳細は「多項定理」を参照

二項定理の拡張である、多項定理と呼ばれる等式

${\displaystyle (x_{1}+\dotsb +x_{r})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}\cdot {x_{1}}^{k_{1}}\dotsm {x_{r}}^{k_{r}}}$

が成立する。特に x₁ = x₂ = … = x_r = 1 と置くことにより

${\displaystyle r^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}}$

が得られる。

多項分布

多項係数の応用として、多項分布

${\displaystyle P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2},\dotsc ,X_{r}=k_{r})={\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}\dotsm {p_{r}}^{k_{r}}}$

は離散確率変数に関する確率分布である。

組合せ論的解釈

組み分け問題

多項係数 (n
k₁, k₂, …, k_r) は n 個の対象を r 個の区別のつく箱に分けて入れるとき、各 i 番目の箱に k_i 個だけの対象が含まれるように入れる方法の総数である。

重複置換の問題

多項係数 (n
k₁,k₂,…,k_r) は、1 ≤ i ≤ r に対して各々ちょうど k_i 個の区別不能な対象が含まれる n 個の対象の置換の総数にも等しい。

例

問い. MISSISSIPPI の文字を並べ替えて得られる「語」は相異なるものが全部でいくつあるか？

この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M が 1 個 (k₁ = 1), 二種類目の文字 I が 4 個 (k₂ = 4), 三種類目の文字 S が 4 個 (k₃ = 4), 残りは P が 2 個 (k₄ = 2) であるから、多項係数

${\displaystyle {\binom {11}{1,4,4,2}}={\frac {11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!}}=34650}$

が答えを与える。これと対照的に、もし11文字全てが区別可能であったならば、その総数は 11! = 39,916,800 とずっと多くなる。

パスカルの単体

二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、r-変数の多項係数にも幾何学的な図形（単体）が対応し、パスカルの r-単体と呼ばれる。r = 3 のときは特に、三項係数（ドイツ語版）に対するパスカルの三角錐（英語版）と呼ばれる。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Multinominal Coefficient”. mathworld.wolfram.com (英語).