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完全微分

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完全微分(かんぜんびぶん、: exact differential)とは、関数の全微分として書ける1次の微分形式の事で、多様体論などの数学の分野では(1次の)完全形式と呼ばれる。本項では主に物理学に応用する事を想定して直観的に完全微分を説明する。より厳密な取り扱いは微分形式外微分等の項目を参照されたい。

概要

要約
視点

定義

直観的な定義 (微分形式)  Mn次元ユークリッド空間領域の座標(あるいはより一般にM滑らかな多様体Mの滑らかな局所座標[注 1])とする。滑らかな関数と「微小量」を用いて

...(1)

の形にかけるものをM上の1次の微分形式: differential form)という[注 2]

定義 (完全微分、不完全微分)   何らかの滑らかな関数全微分

...(2)

の形にかける1次の微分形式(すなわちが任意のiに対して成り立つAが存在する微分形式)を完全微分: exact differential[1], perfect differential)といい[2]をこの完全微分のポテンシャル: potential)という[2]

1次の微分形式で、完全微分でないものを不完全微分: imperfect differential[1][3])という。

なお、滑らかな関数Aに対し、全微分A微分形という。 完全微分のポテンシャルは微分積分学の基本定理より定数項を除いて一意である[1]。すなわち、ならを満たす定数が存在する[注 3]

なお、数学と物理学で名称が異なるので、下記のように表でまとめた:

さらに見る (2)の形で書けるもの, (1)で(2)の形に書けないもの ...

座標変換に対する不変性

M上に(あるいはより一般にM開集合上に)2つの座標系が定義されているとき、で表記された微分形式

...(A)

を全微分

に置き換える事でで表記された微分形式

...(B)

に変換できる。ここで座標で表したものである。(A)と(B)は異なる座標系で表示された同一の微分形式であるとみなす。

全微分は座標変換に対して自然に振る舞う:

定理  座標系で表された滑らかな関数を全微分してから座標系 に変数変換したものは、を座標系 に変数変換したを全微分したものと一致する [注 4]

よって特に完全微分の概念は座標変換に対して不変である:

 (完全微分の概念の座標不変性)  座標系で表記された(A)の微分形式が完全微分である必要十分条件はこの微分形式を座標系で表した(B)の微分形式が完全微分である事である。

上記の定理により、「この微分形式は完全微分である」というとき、どの座標系にとって完全微分であるかを問わなくて良い。後述するように完全微分の概念は熱力学に応用を持つが、熱力学で完全微分の議論をする際、それがSVN座標に対してなのかUVN座標に対してなのかを明示する必要がないのはこの定理があるためである。

不完全微分の表記

物理学では(1)を何らかの曲線γに沿って線積分した

...(3)

が何らかの物理量を表している事が多い。(1)の形の不完全微分を(3)のように線積分したものが物理量Bを表しているとき、(1)を

のように表す。教科書によっては「[4]、「[5]と表記するものもある。

」は全微分と区別するための「単なる記号」[5]であり、完全微分と区別する以上の意味はなく[5]が具体的になにかの関数の全微分になっている事を意味するわけではない。実際、一般には(3)の線積分は経路に依存するため、物理量に実数を対応させる関数にはならず、各経路に実数を対応させる関数になってしまう。

次節で述べるように、に実数を対応させる関数になる必要十分条件は(1)の微分形式が完全微分な事である。

性質

定理  以下の2つは同値である[6]

  • (3)の線積分は経路γに依存せず、γの始点と終点のみで決まる。
  • (1)の微分形式は完全微分である


(1)の微分形式が完全微分なら、(3)の線積分が経路に依存しないので、基点を固定し、

という(経路に依存せず、基点と終点だけに依存する)物理量を定める事ができる。そして上記のAを全微分したが(1)の微分形式に一致する。なお前述のように、が(1)の微分形式と一致するAは定数項を除いて一意である。

具体例

熱力学ではMは熱力学的な「平衡状態」の空間であり[7]、具体的には物理的な系の内部エネルギー体積物質量(=モル数)といった変数で記述される空間である[注 6][注 7]

不完全微分で記述される物理量の具体例としては熱量Qがあり、QM上の不完全微分を線積分した形で定式化される。よってM上でどのような経路をたどったかによって熱量は異なってしまう[8]

一方完全微分で記述される物理量の例としては温度Tがある。Tは平衡状態に実数を対応させる関数として定式化できる量であり、したがってその全微分(これは定義により完全微分)の線積分としても書ける。そしてこの線積分の結果は経路によらず、終点のみで決まる量である[注 8]

熱力学では平衡状態に実数を対応させる関数として定式化できる物理量を状態量と呼ぶ。よって温度Tは状態量だが熱量Qは状態量ではない。上述の定理より、(1)の微分形式が完全微分か否かは、(3)の線積分の結果得られる物理量が状態量であるか否かを特徴づける事になる。

ポアンカレの補題

以上で説明したように、微分形式が完全微分か否かは物理的に重要な意味を持つため、本節では微分形式が完全微分であるための条件を見る。

微分形式が完全微分であれば、となるが存在し、を満たすので、となる。したがって

for

ωが完全微分であるための必要条件となる。

逆に上記の条件が成立してもとなるMの全域で定義された(一価の[注 9])関数として存在するとは限らない。しかし上記の条件を満たせば局所的にはそのようなが存在する事が知られている:

定理 (ポアンカレの補題[9])  上定義された微分形式 

に対し、以下の2つは同値である:

  • 任意のij、および任意のに対し、が成立する[注 10]
  • 任意の点に対し、近傍と、上定義された滑らかな関数とが存在し、上でが成立する。

一般には上記の定義で局所的に存在を保証されたAMの全域に拡張しようとすると、A多価関数になってしまう。

例えばが原点以外の2次元平面で定義されているとき[注 11]には原点の周りを「右回り」の曲線に沿ってAを拡張したのか、「左回り」の曲線に沿ってAを拡張したかによってAの値は変わってしまう場合がある[9]。同様にMトーラスであればトーラスの周りを「右回り」にAを拡張したのか、「左回り」に拡張したかによってAの値は変わってしまう場合がある。

M単連結であれば(あるいはより一般に1次のコホモロジー群0であれば)、このような多価性の問題は生じず、AMの全域に拡張できる。詳細はド・ラームコホモロジーの項目を参照されたい。

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偏微分関係式

要約
視点

三次元空間上の定義された滑らかな実数値関数により定義される曲面

を考える。上述の曲面上の点に対し、であれば、陰関数定理よりについて解いた

の近傍で定義できる。同様にであれば、

の近傍で定義可能である。

定理  記号を上述のように定義する。このとき、における偏微分は以下を満たす:

  • 相反関係式[10]:670[11]
  • 輪環関係式[10]:670[11]

輪環関係式は三重積の微分法則英語版とも呼ばれる。

相反関係式は変数をサイクリックに入れ替えた

も成立する。

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関連項目

脚注

参考文献

外部リンク

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