完全微分

より一般の微分幾何・微分位相幾何については「閉微分形式と完全微分形式（英語版）」をご覧ください。

完全微分（かんぜんびぶん、英: exact differential）とは、関数の全微分として書ける1次の微分形式の事で、多様体論などの数学の分野では（1次の）完全形式と呼ばれる。本項では主に物理学に応用する事を想定して直観的に完全微分を説明する。より厳密な取り扱いは微分形式、外微分等の項目を参照されたい。

概要

定義

→詳細は「§ 定義の節」を参照

線積分

${\displaystyle \int _{\gamma }f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

の「中身」である

${\displaystyle f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

を1次の微分形式といい^{[注 1]}、1次の微分形式の中で特に何らかの関数の全微分

${\displaystyle dA={\partial A \over \partial x^{1}}(x)dx^{1}+\cdots +{\partial A \over \partial x^{n}}(x)dx^{n}}$

の形に書けるものを完全微分、そうでないものを不完全微分という。

ある微分形式が完全微分であるか否かは座標系によらない。すなわち、ある座標系で完全微分、不完全微分なものはそれぞれ、別の座標系でも完全微分、不完全微分である（詳細）。

不完全微分の表記

→詳細は「§ 表記の節」を参照

不完全微分の線積分${\displaystyle \int _{\gamma }f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$が物理量${\displaystyle B}$を表しているとき、その「中身」である不完全微分を

${\displaystyle \mathrm {d} 'B=f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

のように表す。「${\displaystyle d'}$」は全微分と区別するための「単なる記号」^[1]であり、完全微分と区別する以上の意味はなく^[1]、${\displaystyle d'B}$が具体的になにかの関数の全微分になっている事を意味するわけではない。

性質

微分形式${\displaystyle f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$が完全微分である必要十分条件は、線積分${\displaystyle \int _{\gamma }f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$が経路${\displaystyle \gamma }$に依存しない事である（詳細）。

簡単な計算から、微分形式${\displaystyle f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$が完全微分であれば、

${\displaystyle {\partial f_{i} \over \partial x^{j}}(x)={\partial f_{j} \over \partial x^{i}}(x)}$ for ${\displaystyle \forall i,j,x}$

を満たす事が確かめられる。逆に微分形式が上式を満たすと、${\displaystyle dA={\partial A \over \partial x^{1}}(x)dx^{1}+\cdots +{\partial A \over \partial x^{n}}(x)dx^{n}}$を満たす${\displaystyle A}$が局所的に存在する事が示せるが（詳細）、一般には大域的に存在するとは限らない。

具体例

→詳細は「§ 具体例の節」を参照

熱力学において、温度、圧力、体積などは完全微分の積分によって記述できる。一方力学的仕事は不完全微分の積分として記述される。よって力学的仕事の値は積分経路に依存する。

定義と基本的な性質

定義

直観的な定義 (微分形式) ― Mをn次元ユークリッド空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の領域、${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$を${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の座標（あるいはより一般にMを滑らかな多様体、${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$をMの滑らかな局所座標^{[注 2]}）とする。滑らかな関数${\displaystyle f_{i}~:~M\to \mathbb {R} }$と「微小量」${\displaystyle dx^{i}}$、${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$を用いて

${\displaystyle f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$ ...(1)

の形にかけるものをM上の1次の微分形式（英: differential form）という^{[注 1]}。

定義 (完全微分、不完全微分) ―  何らかの滑らかな関数${\displaystyle A~:~M\to \mathbb {R} }$の全微分

${\displaystyle dA={\partial A \over \partial x^{1}}(x)dx^{1}+\cdots +{\partial A \over \partial x^{n}}(x)dx^{n}}$ ...(2)

の形にかける1次の微分形式(すなわち${\displaystyle f_{i}={\tfrac {\partial A}{\partial x^{i}}}}$が任意のiに対して成り立つAが存在する微分形式)を完全微分（英: exact differential^[2], perfect differential）といい^[3]、${\displaystyle A}$をこの完全微分のポテンシャル（英: potential）という^[3]。

1次の微分形式で、完全微分でないものを不完全微分（英: imperfect differential^[2][4]）という。

なお、滑らかな関数Aに対し、全微分${\displaystyle \mathrm {d} A}$をAの微分形という。 完全微分のポテンシャルは微分積分学の基本定理より定数項を除いて一意である^[2]。すなわち、${\displaystyle \mathrm {d} A_{1}=\mathrm {d} A_{2}}$なら${\displaystyle A_{1}(x)=A_{2}(x)+C}$を満たす定数${\displaystyle C}$が存在する^{[注 3]}。

以上の概念は数学と物理学で名称が異なるので、下記のように表でまとめた：

	(2)の形で書けるもの	(1)で(2)の形に書けないもの	(2)の形を得る微分操作
数学	1次の完全形式	完全形式ではない1次の微分形式	外微分
物理	完全微分	不完全微分	全微分

座標変換に対する不変性

M上に（あるいはより一般にMの開集合上に）2つの座標系${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$、${\displaystyle y=(y^{1},\ldots ,y^{n})}$が定義されているとき、${\displaystyle y=(y^{1},\ldots ,y^{n})}$で表記された微分形式

${\displaystyle \sum _{j}f_{j}(y)\mathrm {d} y^{j}}$ ...(A)

の${\displaystyle dy^{j}}$を（${\displaystyle y^{j}}$を${\displaystyle x}$の関数${\displaystyle y^{j}=y^{j}(x)}$とみなしたときの）全微分

${\displaystyle dy^{j}=\sum _{i}{\partial y^{j} \over \partial x^{i}}(x)\mathrm {d} x^{i}}$

に置き換える事で${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$で表記された微分形式

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{j}f_{j}(y(x)){\partial y^{j} \over \partial x^{i}}(x)\right)\mathrm {d} x^{i}}$ ...(B)

に変換できる。ここで${\displaystyle y(x)}$は${\displaystyle x}$を${\displaystyle y}$座標で表したものである。(A)と(B)は異なる座標系${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$、${\displaystyle y=(y^{1},\ldots ,y^{n})}$で表示された同一の微分形式であるとみなす。

全微分は座標変換に対して自然に振る舞う：

定理 ― 座標系${\displaystyle y=(y^{1},\ldots ,y^{n})}$で表された滑らかな関数${\displaystyle f(y)}$を全微分してから座標系 ${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$ に変数変換したものは、${\displaystyle f}$を座標系 ${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$に変数変換した${\displaystyle f(y(x))}$を全微分したものと一致する ^{[注 4]}。

証明

${\displaystyle f(y(x))}$を全微分したものはチェインルールから、

${\displaystyle \mathrm {d} (f\circ y)=\sum _{i}{\partial f\circ y \over \partial x^{i}}\mathrm {d} x^{i}}$${\displaystyle =\sum _{i}\left(\sum _{j}{\partial f \over \partial y^{j}}{\partial y^{j} \over \partial x^{i}}\right)\mathrm {d} x^{i}}$

となり、(B)と一致する。

よって特に完全微分の概念は座標変換に対して不変である：

系 (完全微分の概念の座標不変性) ― 座標系${\displaystyle y=(y^{1},\ldots ,y^{n})}$で表記された(A)の微分形式が完全微分である必要十分条件はこの微分形式を座標系${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$で表した(B)の微分形式が完全微分である事である。

証明

(A)が完全微分であれば、

${\displaystyle \mathrm {d} F=\sum _{j}f_{j}(y)\mathrm {d} y^{j}}$

を満たす滑らかな関数${\displaystyle F}$が存在する。

${\displaystyle G(x)=F(y(x))}$

とすれば、上記の定理より、${\displaystyle \mathrm {d} G}$は(B)に一致する。

逆向きの変数変換に対して同様の証明をすれば十分性も従う。

上記の定理により、「この微分形式は完全微分である」というとき、どの座標系にとって完全微分であるかを問わなくて良い。後述するように完全微分の概念は熱力学に応用を持つが、熱力学で完全微分の議論をする際、それがSVN座標に対してなのかUVN座標に対してなのかを明示する必要がないのはこの定理があるためである。

完全微分、不完全微分の表記

数学では(1)の（完全微分もしくは不完全微分の）微分形式を

${\displaystyle \omega =f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

のように${\displaystyle \omega }$や${\displaystyle \eta }$といったギリシア文字で表す事が多い。${\displaystyle \omega }$が完全微分であれば、

${\displaystyle \mathrm {d} A=f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

のようにポテンシャル${\displaystyle A}$の全微分としても表記できるが、${\displaystyle \omega }$が不完全微分の場合にはこれに類似した表記はない。

一方物理学では不完全微分に対する表記方法も用意している。物理学では(1)を与えられた曲線γに沿って線積分した

${\displaystyle \int _{\gamma }f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$ ...(3)

が何らかの物理量を表している事が多く、(1)の形の不完全微分を(3)のように線積分したものが物理量Bを表しているとき、(1)を

${\displaystyle d'B=f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

のように表す。教科書によっては「${\displaystyle d\!\!\!{}^{-\!\!-}B}$」^[5]、「${\displaystyle \delta B}$」^[1]と表記するものもある。

「${\displaystyle d'}$」は全微分と区別するための「単なる記号」^[1]であり、完全微分と区別する以上の意味はなく^[1]、${\displaystyle d'B}$が具体的になにかの関数の全微分になっている事を意味するわけではない。実際、一般には(3)の線積分${\displaystyle \gamma }$は経路に依存するため、物理量${\displaystyle B}$は${\displaystyle x\in M}$に実数を対応させる関数${\displaystyle x\mapsto \mathbb {R} }$にはならず、各経路${\displaystyle \gamma }$に実数を対応させる関数${\displaystyle \gamma \mapsto \mathbb {R} }$になってしまう。

次節で述べるように、${\displaystyle B}$が${\displaystyle x\in M}$に実数を対応させる関数${\displaystyle x\mapsto \mathbb {R} }$になる必要十分条件は(1)の微分形式が完全微分な事である。

完全微分と経路非依存性

定理 ― 以下の２つは同値である^[6]：

• (3)の線積分は経路γに依存せず、γの始点と終点のみで決まる。
• (1)の微分形式は完全微分である

証明

(1)の微分形式を以下ωと書く。

（${\displaystyle \Leftarrow }$） ωは完全微分なので、

${\displaystyle \omega =dA}$

を満たす滑らかな関数${\displaystyle A~:~M\to \mathbb {R} }$が存在する。したがって微分積分学の基本定理により、

${\displaystyle \int _{\gamma }\omega =\oint _{\gamma }dA=A(\gamma (1))-A(\gamma (0))}$

となり始点0と終点1のみに依存する。

（${\displaystyle \Rightarrow }$） 点${\displaystyle x_{0}\in M}$をfixする。${\displaystyle x\in M}$に対し、${\displaystyle x_{0}}$と${\displaystyle x}$をつなぐ曲線${\displaystyle \gamma }$を取り^{[注 5]}

${\displaystyle A(x):=\int _{\gamma }\omega }$

と定義すると、仮定から${\displaystyle A(x)}$はγの取り方によらずwell-definedである。

${\displaystyle x_{0}=(x_{0}^{1},\ldots ,x_{0}^{n})}$、 ${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$と成分で表し、${\displaystyle x_{0}=(x_{0}^{1},\ldots ,x_{0}^{n})}$、 から${\displaystyle x_{1}=(x^{1},\ldots ,x^{n-1},x_{0}^{n})}$へ行く曲線${\displaystyle \tau }$を任意に取り、${\displaystyle \tau _{x^{n}}}$を曲線

${\displaystyle x(t)=(x^{1},\ldots ,x^{n-1},(1-t)x_{1}^{n}+tx^{n})}$

とすると、

${\displaystyle {dA \over dx^{n}}(x)={d \over dx^{n}}\left(\int _{\tau }\omega +\int _{\tau _{x^{n}}}\omega \right)=0+f_{n}(x)}$

が成立する。同様の議論により

${\displaystyle {dA \over dx^{i}}(x)=f_{i}(x)}$

が任意のiについて示せるので定理が証明された。

(1)の微分形式が完全微分なら、(3)の線積分が経路に依存しないので、基点${\displaystyle x_{0}\in M}$を固定し、

${\displaystyle A(x)=\int _{x_{0}}^{x}f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

という（経路に依存せず、基点と終点だけに依存する）物理量を定める事ができる。そして上記のAを全微分した${\displaystyle dA}$が(1)の微分形式に一致する。なお前述のように、${\displaystyle dA}$が(1)の微分形式と一致するAは定数項を除いて一意である。

具体例

熱力学ではMは熱力学的な「平衡状態」の空間であり^[7]、具体的には物理的な系の内部エネルギー、体積、物質量（＝モル数）といった変数で記述される空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$である^{[注 6][注 7]}。

完全微分として表せる量としては温度、圧力、体積などがある。温度${\displaystyle T}$は平衡状態${\displaystyle x\in M}$に実数を対応させる関数

${\displaystyle x\in M\mapsto T(x)\in \mathbb {R} }$

として定式化できる量であり、したがってその全微分${\displaystyle dT}$（これは定義により完全微分）の線積分

${\displaystyle T=\int _{\gamma }\mathrm {d} T}$

としても書ける。そしてこの線積分の結果は経路${\displaystyle \gamma }$によらず、${\displaystyle \gamma }$の終点${\displaystyle x\in M}$のみで決まるである^{[注 8]}。

一方、不完全微分で記述される物理量の具体例としては力学的仕事${\displaystyle W}$がある。${\displaystyle P,~V~:~M\to \mathbb {R} }$を${\displaystyle M}$の各点が表す平衡状態の圧力および体積とするとき、力学的仕事は不完全微分

${\displaystyle \mathrm {d} 'W=P\mathrm {d} V}$

を線積分した

${\displaystyle W=\int _{\gamma }\mathrm {d} 'W=\int _{\gamma }P\mathrm {d} V}$

の形で定式化される。よってM上でどのような経路${\displaystyle \gamma }$をたどったかによって力学的仕事は異なってしまう^[8]。

熱力学では平衡状態${\displaystyle x\in M}$に実数を対応させる関数として定式化できる物理量を状態量と呼ぶ。よって温度${\displaystyle T}$は状態量だが力学的仕事${\displaystyle W}$は状態量ではない。上述の定理より、(1)の微分形式が完全微分か否かは、(3)の線積分の結果得られる物理量が状態量であるか否かを特徴づける事になる。

ポアンカレの補題

以上で説明したように、微分形式が完全微分か否かは物理的に重要な意味を持つため、本節では微分形式が完全微分であるための条件を見る。

${\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{i}f_{i}(x)\mathrm {d} x^{i}}$を微分形式とするとき、${\displaystyle \omega }$が完全微分であれば、${\displaystyle \omega =dA}$となる${\displaystyle A}$が存在し、${\displaystyle f_{i}(x)={\tfrac {\partial A}{\partial x^{i}}}}$を満たすので、${\displaystyle \textstyle {\partial f_{i} \over \partial x^{j}}={\partial ^{2}A \over \partial x^{i}\partial x^{j}}={\partial f_{j} \over \partial x^{i}}}$となる。したがって

${\displaystyle {\partial f_{i} \over \partial x^{j}}(x)={\partial f_{j} \over \partial x^{i}}(x)}$ for ${\displaystyle \forall i,j,x}$

はωが完全微分であるための必要条件となる。

逆に上記の条件が成立しても${\displaystyle \omega =dA}$となる${\displaystyle A}$がMの全域で定義された（一価の^{[注 9]}）関数として存在するとは限らない。しかし上記の条件を満たせば局所的にはそのような${\displaystyle A}$が存在する事が知られている：

定理 (ポアンカレの補題^[9]) ― ${\displaystyle M}$上定義された微分形式　

${\displaystyle \omega =\sum _{i}f_{i}(x)\mathrm {d} x^{i}}$

に対し、以下の２つは同値である：

• 任意のi、j、および任意の${\displaystyle x\in M}$に対し、${\displaystyle {\partial f_{i} \over \partial x^{j}}(x)={\partial f_{j} \over \partial x^{i}}(x)}$が成立する^{[注 10]}。
• 任意の点${\displaystyle x\in M}$に対し、${\displaystyle x}$の近傍${\displaystyle U}$と、${\displaystyle U}$上定義された滑らかな関数${\displaystyle A~:~U\to \mathbb {R} }$とが存在し、${\displaystyle U}$上で${\displaystyle \omega =\mathrm {d} A}$が成立する。

微分形式${\displaystyle \omega ={-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y \over x^{2}+y^{2}}}$は原点で（有限かつ微分可能な値としては）定義できない関係で、${\displaystyle \omega }$のポテンシャルを全域に拡張しようとすると、図のような多価関数になってしまう。
実際、${\displaystyle \omega }$を極座標表示${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle =(r\cos \theta ,}$${\displaystyle r\sin \theta )}$に変換すると、${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta }$と書ける事から、${\displaystyle \omega }$のポテンシャルは点${\displaystyle (x,y)}$に${\displaystyle \theta +{\text{const.}}}$を対応させる関数となるので、${\displaystyle 2\pi n}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$)分の多価性がある。

一般には上記の定義で局所的に存在を保証されたAをMの全域に拡張しようとすると、Aは多価関数になってしまう。

例えば${\displaystyle \omega }$が原点以外の2次元平面${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$で定義されているとき^{[注 11]}には原点の周りを「右回り」の曲線に沿ってAを拡張したのか、「左回り」の曲線に沿ってAを拡張したかによってAの値は変わってしまう場合がある（右図）。同様にMがトーラスであればトーラスの周りを「右回り」にAを拡張したのか、「左回り」に拡張したかによってAの値は変わってしまう場合がある。

Mが単連結であれば（あるいはより一般に1次のコホモロジー群${\displaystyle H^{1}(M)}$が0であれば）、このような多価性の問題は生じず、AをMの全域に拡張できる。詳細はド・ラームコホモロジーの項目を参照されたい。

偏微分関係式

三次元空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$上の定義された滑らかな実数値関数${\displaystyle F~:~\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$により定義される曲面

${\displaystyle F(x,y,z)={\text{const.}}}$

を考える。上述の曲面上の点${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}$に対し、${\displaystyle {\partial F \over \partial x}(P_{0})\neq 0}$であれば、陰関数定理より${\displaystyle F(x,y,z)={\text{const.}}}$を${\displaystyle x}$について解いた

${\displaystyle x=x(y,z)}$

を${\displaystyle P_{0}}$の近傍で定義できる。同様に${\displaystyle {\partial F \over \partial y}(P_{0})\neq 0}$、${\displaystyle {\partial F \over \partial z}(P_{0})\neq 0}$であれば、

${\displaystyle y=x(z,x)}$

${\displaystyle z=z(x,y)}$

も${\displaystyle P_{0}}$の近傍で定義可能である。

定理 ― 記号を上述のように定義する。このとき、${\displaystyle P_{0}}$における偏微分は以下を満たす：

• （相反関係式）^[10]:670[11] $${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial z}}{\Big )}_{y}=1}$$
• （輪環関係式）^[10]:670[11] $${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial y}}{\Big )}_{z}{\Bigl (}{\frac {\partial y}{\partial z}}{\Big )}_{x}{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}=-1}$$

証明

${\displaystyle x=x(y,z)}$、${\displaystyle z=x(x,y)}$の全微分 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {dx}}&=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\mathrm {d} y+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)_{y}\mathrm {d} z,\\[5pt]{\mathit {dz}}&=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\mathrm {d} y\end{aligned}}}$$ を考え^[10]:667&669、最初の式に二つ目の式を入れて並べ替えれば :${\displaystyle \left(1-\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)_{y}\right)\mathrm {d} z=\left(\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\right)\mathrm {d} y}$ を得る^[10]:669。

両辺が等しい事から${\displaystyle \mathrm {d} z}$、${\displaystyle \mathrm {d} y}$の係数はいずれも0である。

上式の左辺が0である事から相反関係式が従う。

上式の右辺が0である事と、相反関係式をサイクリックに入れ替えた

${\displaystyle \left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}=1}$

とから輪環関係式が従う。

輪環関係式は三重積の微分法則（英語版）とも呼ばれる。

相反関係式は変数をサイクリックに入れ替えた

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{z}=1}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}=1}$

も成立する。

関連項目

• 閉微分形式と完全微分形式（英語版）
• 微分小
• 完全微分方程式（英語版）
• 不完全微分方程式（英語版）
• 積分因子: 不完全方程式を完全微分方程式にするために掛ける
• 状態量: 熱力学において微分が完全微分となるような物理量。