定義
直観的な定義 (微分形式) ― Mをn次元ユークリッド空間
の領域、
を
の座標(あるいはより一般にMを滑らかな多様体、
をMの滑らかな局所座標[注 1])とする。滑らかな関数
と「微小量」
、
を用いて
...(1)
の形にかけるものをM上の1次の微分形式(英: differential form)という[注 2]。
定義 (完全微分、不完全微分) ―
何らかの滑らかな関数
の全微分
...(2)
の形にかける1次の微分形式(すなわち
が任意のiに対して成り立つAが存在する微分形式)を完全微分(英: exact differential[1], perfect differential)といい[2]、
をこの完全微分のポテンシャル(英: potential)という[2]。
1次の微分形式で、完全微分でないものを不完全微分(英: imperfect differential[1][3])という。
なお、滑らかな関数Aに対し、全微分
をAの微分形という。
完全微分のポテンシャルは微分積分学の基本定理より定数項を除いて一意である[1]。すなわち、
なら
を満たす定数
が存在する[注 3]。
なお、数学と物理学で名称が異なるので、下記のように表でまとめた:
さらに見る (2)の形で書けるもの, (1)で(2)の形に書けないもの ...
|
(2)の形で書けるもの |
(1)で(2)の形に書けないもの |
(2)の形を得る微分操作 |
| 数学 |
1次の完全形式 |
完全形式ではない1次の微分形式 |
外微分 |
| 物理 |
完全微分 |
不完全微分 |
全微分 |
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座標変換に対する不変性
M上に(あるいはより一般にMの開集合上に)2つの座標系
、
が定義されているとき、
で表記された微分形式
...(A)
の
を全微分

に置き換える事で
で表記された微分形式
...(B)
に変換できる。ここで
は
を
座標で表したものである。(A)と(B)は異なる座標系
、
で表示された同一の微分形式であるとみなす。
全微分は座標変換に対して自然に振る舞う:
定理 ― 座標系
で表された滑らかな関数
を全微分してから座標系
に変数変換したものは、
を座標系
に変数変換した
を全微分したものと一致する
[注 4]。
証明
を全微分したものはチェインルールから、


となり、(B)と一致する。
よって特に完全微分の概念は座標変換に対して不変である:
系 (完全微分の概念の座標不変性) ― 座標系
で表記された(A)の微分形式が完全微分である必要十分条件はこの微分形式を座標系
で表した(B)の微分形式が完全微分である事である。
証明
(A)が完全微分であれば、

を満たす滑らかな関数
が存在する。

とすれば、上記の定理より、
は(B)に一致する。
逆向きの変数変換に対して同様の証明をすれば十分性も従う。
上記の定理により、「この微分形式は完全微分である」というとき、どの座標系にとって完全微分であるかを問わなくて良い。後述するように完全微分の概念は熱力学に応用を持つが、熱力学で完全微分の議論をする際、それがSVN座標に対してなのかUVN座標に対してなのかを明示する必要がないのはこの定理があるためである。
性質
定理 ― 以下の2つは同値である[6]:
- (3)の線積分は経路γに依存せず、γの始点と終点のみで決まる。
- (1)の微分形式は完全微分である
証明
(1)の微分形式を以下ωと書く。
(
)
ωは完全微分なので、

を満たす滑らかな関数
が存在する。したがって微分積分学の基本定理により、

となり始点0と終点1のみに依存する。
(
)
点
をfixする。
に対し、
と
をつなぐ曲線
を取り[注 5]

と定義すると、仮定から
はγの取り方によらずwell-definedである。
、
と成分で表し、
、
から
へ行く曲線
を任意に取り、
を曲線

とすると、

が成立する。同様の議論により

が任意のiについて示せるので定理が証明された。
(1)の微分形式が完全微分なら、(3)の線積分が経路に依存しないので、基点
を固定し、

という(経路に依存せず、基点と終点だけに依存する)物理量を定める事ができる。そして上記のAを全微分した
が(1)の微分形式に一致する。なお前述のように、
が(1)の微分形式と一致するAは定数項を除いて一意である。
ポアンカレの補題
以上で説明したように、微分形式が完全微分か否かは物理的に重要な意味を持つため、本節では微分形式が完全微分であるための条件を見る。
微分形式
が完全微分であれば、
となる
が存在し、
を満たすので、
となる。したがって
for 
はωが完全微分であるための必要条件となる。
逆に上記の条件が成立しても
となる
がMの全域で定義された(一価の[注 9])関数として存在するとは限らない。しかし上記の条件を満たせば局所的にはそのような
が存在する事が知られている:
微分形式
は原点で(有限の値としては)定義できない関係で、
のポテンシャルを全域に拡張しようとすると、図のような多価関数になってしまう。
実際、
を極座標表示

に変換すると、
と書ける事から、
のポテンシャルは点
に
を対応させる関数となるので、
(
)分の多価性がある。
一般には上記の定義で局所的に存在を保証されたAをMの全域に拡張しようとすると、Aは多価関数になってしまう。
例えば
が原点以外の2次元平面
で定義されているとき[注 11]には原点の周りを「右回り」の曲線に沿ってAを拡張したのか、「左回り」の曲線に沿ってAを拡張したかによってAの値は変わってしまう場合がある(右図)。同様にMがトーラスであればトーラスの周りを「右回り」にAを拡張したのか、「左回り」に拡張したかによってAの値は変わってしまう場合がある。
Mが単連結であれば(あるいはより一般に1次のコホモロジー群
が0であれば)、このような多価性の問題は生じず、AをMの全域に拡張できる。詳細はド・ラームコホモロジーの項目を参照されたい。