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擬絶対値

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数学における擬絶対値(ぎぜったいち、: pseudo-absolute value, : Pseudobetrag)は、絶対値よりも条件の緩い類似の概念である。

定義

要約
視点

R単位的環とする。非負実数値函数 ||: RR+擬絶対値であるとは、以下の三条件をすべて満たすときにいう: a, b R を任意として

  1. 定値性:
  2. 劣乗法性:

条件 3 の代わりにより強く

3a. 乗法性:

を満たすものは絶対値と言う。

擬絶対値 ||非アルキメデス的とは

を満たすときに言う。

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性質

  • 擬絶対値は各元 aR に対して必ず |a| = |a| を満たす。また、各元 a, bR に対して三角不等式 |a + b| |a| + |b| を満たす。
  • 擬絶対値に関して必ず |1| 1 が成り立ち、特に絶対値に関して |1| = 1 が成り立つ。
  • 絶対値を持つ任意の単位的環は整域でなければならない(乗法性により、実数の零積性質英語版がその環に遺伝する)。

以下 (R, ||) は擬絶対値持つ単位的環とする。

多項式環の擬絶対値

多項式環 R[X] または多変数の R[X1, …, Xn] はそれ自体(多項式の積に関して)単位的環を成す。ここでたとえば、1-擬ノルムドイツ語版は多項式環上の擬絶対値を与える。

行列環の擬絶対値

同様に行列環 Rn×n も(行列の積に関して)単位的環を成し、ここでも 1 p 2 なる各実数 p に対する p-擬ノルムが行列環上の擬絶対値を与える。

参考文献

関連項目

外部リンク

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